Екстремальні задачі в нормованих просторах

Перерахуємо далі деякі властивості опуклих функціоналів.

Нехай - сімейство опуклих функціоналів. Тоді функціонал є опуклим.

Якщо опуклий функціонал F(х) - напівнеперервний знизу, то він є і слабонапівнеперервним знизу.

Покажемо далі, що справедливе

Твердження 4. Диференційовний за Гато опуклий функцірнал є слабонапівнеперервним знизу.

Доведення. Зауважимо спочатку, що має місце нерівність

Ця нерівність випливає з співвідношення

яке справедливе для опуклих функціоналів. При одержимо нерівність (11). Нехай Тоді при і що і потрібно було показати.

Нехай U - опукла множина банахового простору X , F(x) - опуклий функціонал. Справедливе

Твердження 5. Множина є опуклою, причому якщо F(x) строго опуклий, то Е містить не більше однієї точки.

Доведення. Нехай Тоді тобто Якщо F(x) – строго опуклий, то що неможливо, коли

Твердження 6. Нехай F(x) - функціонал, визначений в банаховому просторі Х, причому F(x)=F1(x)+F2(x), де F1(x) – опуклий, диференційовний за Гато функцірнал, F2(x) – опуклий функціонал, U – опукла множина, Тоді наступні три умови еквівалентні:

Доведення. Нехай Тоді Звідки використовуючи опуклість F2(x) одержимо Звідки При одержимо умову 2.

Нехай виконується умова 2. Тоді з опуклості функціоналу F1(x) випливає нерівність Приймаючи до уваги нерівність 2) будемо мати, що тобто Подібним чином доводиться еквівалентність 1) і 3). л

Зауваження. Співвідношення 2) і 3) називають варіаційними нерівностями.

Нехай Х і Y – банахові простори, F(x) - неперервний опуклий функціонал, визначений на просторі Х. Розглянемо наступну задачу де Має місце

Твердження 7. Припустимо, що множина замкнена в Y. Тоді існує таке число і вектор що де - простір, спряжений до Y, і якщо D=Y, то =1.

Тут символом позначено значення лінійного функціоналу l на елементі х.

Нехай далі Х – лінійний простір, U1 – деяка опукла множина із Х, - опуклі функціонали. Розглянемо наступну задачу

Функцію називають функцією Лагранжа, а числа - множниками Лагранжа.

Теорема Куна-Таккера. Нехай - розв’язок задачі (2.12), тоді знайдуться невід”ємні множники Лагранжа одночасно не рівні нулю і такі, щоЯкщо то умови 1, 2 достатні для того, щоб була розв’язком задачі (2.12), а для того, щоб достатньо, щоб знайшлася точка така, що

Доведення. Не обмежуючи загальності будемо вважати, що В противному разі ми можемо ввести функцію

Введемо множину де . Покажемо спочатку, що множина В не порожня та опукла. Легко бачити, що якщо то оскільки в цьому разі можемо покласти Нехай а х1 та х2 такі вектори із U1, що