Випадкові величини

Задача 20. Нехай випадкова величина абуває цілих невід’ємних значень, причому М . Довести, що

Задача 21. Нехай 1 та 2- незалежні одинаково розподілені випадкові величини та 1+2, 1-2. Довести, що .

Задача 22. Нехай 1 та 2 незалежні випадкові величини, які мають цілі значення. Довести, що

Задача 23.Нехай 1 та 2 незалежні випадкові величини, які мають розподіл Пуассона з параметрами 1 та 2. Довести, що випадкова величина

1 + 2 має розподіл Пуассона з параметрами 1 + 2.

Задача 24. Випадкові величини1 та 2  незалежні і мають розподіл Пуассона

з параметрами 1та 2 відповідно. Показати, що

Задача 25 .Випадкові величини 1 та 2 незалежні і мають один і той же геометричний розподіл. Довести, що

Задача 26. Випадкові величини 1 та 2 незалежні і мають один і той же геометричний розподіл Показати, щовипадкова величина має геометричний розподіл. Знайти параиетр цього розподілу.Відповідь q=q1q2.Задача 27. Написані n листів, але адреси на конвертах написано у випадковаму порядку. Нехай - число листів, які будуть одержані тими адресатами, кому вони призначені. Обчислити М та D .

Розв’язування. Нехай = 1, якщо к- тий лист одержано адресатом , або = 0, - в протилежному випадку. Тоді

D = і M =1. Для обчислення D треба підрахувати M (k i). Oскільки набуває значення 1 та 0, причому

Задача 28. Знайти ймовірність того, що подія А настурить рівно 70 раз в 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випрбуванні дорівнює 0,25.

Розв’язування. Скористаємося локальною теоремою Лапласа:

Так як n=243, k=70 , p=0,25, , то , Шукана ймовірність дорівнює

Задача 29. Ймовірність появи події А в кожному із 100 незалежних випробовувань постійна і дорівнює р=0, 8. Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться: а) не менше 75 раз і не більше 90 раз;б) не менше 75 разів.

Розв’язування. а) Скористаємося інтегральною теоремою Муавра – Лапласа:

Враховуючи, що функція Лапласа непарна, тобто одержимо

Відповідь.б) )).

Задача 30. Магазин одержав 1000 бутилок мініральної води. Ймовірність того, що при перевезенні бутилка дуде розбитою, дорівнює 0,003. Знайти ймоварність того, що магазин одерже розбитих бутилок: а) рівно дві; б) не менше двох; в) більше двох; г) принаймі одну.

3 Абсолютно неперервні випадкові величини.

Функція розподілу випадкової величини це ймовірність F(x)=P{
в) F()=0, F(+)=1

Для кожної функції F(x), яка має ці властивості можна побудувати ймовірний простір (Р) і випадкову величину на ньому, яка має функцію розподілу F(x).