Випадкові величини

1. Випадкові величини  функції на просторі елементарних подій.

Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини. Випадкова величина  це величина, яка приймає те чи інше значення в залежності від випадку. Прикладом випадкової величини можуть бути число очок, які випали при одному підкиданні грального кубика, число попадань в ціль при n пострілах, час безвідмовної роботи приладу, дальність польоту балістичної ракети та інш. Випадкова величина  є число, яке ставиться у відповідність кожному можливому наслідку експеримента. Оскільки наслідки експерименту описуються елементарними подіями, випадкову величину можна розглядати як функцію на просторі елементарних подій .

Приклад. Нехай двічі підкидають монету. Простір елементарних подій має вигляд ГГ, ГР, РГ, РР. Нехай число появ герба. Величина є функцією елементарної події. Таблиця значень функції має наступний вигляд:

Г ГГ РР ГР Р

2110

Функціяна називається вимірною відносно алгебри , якщо для кожного дійсного х виконана умова х.

Випадковою величиною на () називається вимірна функція

яка задає відображення в множину дійсних чисел R.

Функцією розподілу випадкової величини називається функція

F(x)={ < x}.

Нехай <> ймовірнісний простір і випадкова величина на ньому. Показати,що кожна із множин множини

є випадковою подією, тобто кожна з цих множин належить   алгебрі . Показати, що P{ : x}= , P{x}= -

Р{ < b}= F(b)- F( ),

2. Дискретні випадкові величини.

Нехай <>  ймовірнісний простір. Дискретною випадковою величиною називається функція на , яка набуває скінченне або зліченне число значень х1, х2, …, хn , … і є вимірною відносно алгебри. Це означає, що для кожного хі

{ x} (1)

Дійсно, якщо для функції має місце співвідношення (1), то ця функція вимірна відносно , так як для кожного дійсного х

{x}= { xі} .

Крім того, якщо вимірна відносно алгебри, то за Теоремою 1 для кожного дійсного х { x }. Таким чином, якщо дискретна випадкова величина на ймовірнісному просторі <>, яка приймає значення х1, х2, …, хn, …, то для кожного n визначена ймовірність

Рn=Р{xn} (2)

Нехай – дискретна випадкова величина, яка набуває значення х1,…, хі,…. Набір чисел

Р{)=xi}=pi (i=1,2,…)