Елементи теорії похибок
Приклад 9. Висота h та радіус основи циліндра виміряні з точністю до 0,5%. Яка відносна похибка при обчисленні об’єму циліндра, якщо * 3,14?
Розв’язання. . Більш точне значення 3,14159265, отже (*)=0,1610–2, а (*)=0,1610–2/3,14=0,0005=0,05%. Тоді, згідно до формули про відносну похибку добутку будемо мати
Приклад 10. Ребро куба виміряне з точністю до 0,02 см. дорівнює 8 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчисленні об’єму куба.
Розв’язання. позначимо сторону куба через a. Тоді, см. Застосовуючи формулу (4), будемо мати =(3820,02)см3=3,84см3, а .
Приклад 11. Визначити відносну похибку числа, що записане в ЕОМ з счислення та довжиною мантиси t.
Розв’язання. Число x* можна записати в ЕОМ у вигляді
де визначає порядок числа, di – цілі, причому. Нехай точне значення числа дорівнює
Якщо ж числа вводяться за правилами заокруглення, то і тоді будемо мати, що
3. Обернена задача теорії похибок
Обернена задача теорії похибок полягає в наступному: з якою точністю потрібно задати значення аргументів функція , щоб похибка значення функції не перевищувала заданої величини ε.
Для функції однієї змінної y=f(x) абсолютну похибку можна наближено обчислити за формулою
Для функції декількох змінних задача розв’язується за допомогою наступних рекомендацій:
а) принцип рівних впливів, тобто вважаємо, що всі доданки рівні між собою. Тоді абсолютні похибки всіх аргументів визначаються формулою
б) вважаємо всі похибки рівними, причому максимально можливими, тобто покладемо
Приклад 12. Сторона квадрату дорівнює 2м. З якою точністю її потрібно виміряти, щоб похибка знаходження площі не перевищувала 1см2?
Розв’язання. Позначимо сторону квадрату через x; S=x2, S'=2x. Тоді за формулою (14) отримаємоПриклад 13. З якою кількістю вірних значущих цифр потрібно взяти вільний член квадратного рішення
x2–2x+lg2=0,
щоб отримати корені рівняння з чотирма вірними значущими цифрами?
Розв’язання. Для коренів рівняння (17) маємо . Оскільки , тоді . Отже за змістом задачі потрібно визначити так, щоб , а для , щоб . Позначимо z=ln2 і розглянемо функцію . З’ясуємо, з якою точністю потрібно обчислити z* в околі точки 0,3, щоб , то використовуючи формулу (14), будемо мати
Звідси робимо висновок, що для знаходження кореня x1 потрібно обчислити lg2 з трьома вірними значущими цифрами після коми, тобто lg2=0,301.
Аналогічно, розглядаючи функцію отримаємо, що для знаходження кореня x2 з точністю 0,5•10–4 потрібно обчислити lg2 з чотирма вірними значущими цифрами після коми, тобто lg2=0,3010.
Приклад 14. В п’ятизначних логарифмічних таблицях дано значення десяткових логарифмів з точністю до 0,510–6. Оцінити величину можливої похибки при знаходженні числа за його логарифмом, якщо саме число знаходиться між 300 та400.