Елементи теорії похибок

Визначимо, що при заокруглені цілого числа відкинуті знаки не можна заміняти нулями, а потрібно застосовувати множення на відповідний степінь 10.

1. Абсолютна та відносна похибки

Нехай x – точне значення деякої величини, а x* – її відоме наближене значення.

Абсолютною похибкою числа x* називається деяка величина Δx*, що задовольняє умові

Відносною похибкою числа x* називається деяка величина δx*, що задовольняє умові

Відзначимо, що точність результату краще характеризує відносна похибка. Інформацію про абсолютну та відносну похибки можна використати для наступного представлення числа x:

Значущими цифрами числа називаються всі цифри в його запису, починаючи з першої ненульової зліва.

Наприклад:

1.x=4,570345 – всі цифри в запису цього числа значущі;

2.x=0,007614 – значущі цифри тільки 7,6,1,4;

3.x=0,03105600 – значущі цифри 3,1,0,5,6,0,0 (два останні нулі в запису числа є значущими);

4.а) x=3750000 – всі цифри значущі;

б) x=3,75•106 – значущі цифри тільки 3,7,5.

Значуща цифра називається вірною, якщо абсолютна похибка числа не перевищує ½ одиниці розряду, що відповідає цій цифрі.

Приклад 1. Нехай x*=14,537 і відомо, що Δ(x*)=0,04. Скільки вірних значущих цифр має число x*?

Розв’язання. Маємо Δ(x*)>0,5•10–2 і Δ(x*)<0,5•10–1. Отже у числа x* вірними будуть значущі цифри 1,4,5, а цифри 3 і 7 – сумнівні.

Приклад 2. Нехай x*=8,677142 і Δ(x*)=3•10–4. Скільки вірних значущих цифр має число x*?

Розв’язання. Оскільки Δ(x*)=0,3•10–3<0,5•10–3, то x* має вірні три значущі цифри після коми, тобто вірними будуть значущі цифри 8,6,7,7.

Приклад 3. Нехай x*=0,046725 і Δ(x*)=0,008. Скільки вірних значущих цифр має число x*?

Розв’язання. Маємо Δ(x*)=0,0•10–2>0,5•10–2. Отже у числа x* всі значущі цифри сумнівні.

2. Пряма задача теорії похибок

В деякій області G n-вимірного простору розглядається неперервно-диференційована функція y=f(x1, x2,…, xn). Припустимо, що потрібно обчислити значення цієї функції в точці (x1, x2,…, xn)G, а відомі тільки наближені значення такі, що точка , та їх похибки.

обчислимо наближене значення та оцінимо його абсолютну похибку.

Використовуючи формулу Лагранжа, будемо мати