Елементи теорії похибок

1)Обчислимо абсолютну похибку Δ(x*)=x*δ(x*)=2,2351. Тоді будемо мати, що в числі x* вірною є тільки цифра 2, тобто одна вірна цифра.

2)Обчислимо абсолютну похибку Δ(x*)=x*δ(x*)=9,4698•0,1•10–2=0,0094698. Тоді в числі x* будуть вірними дві цифри 9 та 4.

3)Абсолютна похибка буде дорівнювати Δ(x*)=47361•0,01=473,61. Отже в числі x* будуть вірними дві цифри 4 та 7.

Визначимо, що поведінка обчислювальної похибки залежить від правил заокруглення та алгоритму чисельного розв’язування задачі.

Приклад 6. На гіпотетичній ЕОМ з мантисою довжини чотири знайти суму

S=0,2764+0,3944+1,475+26,46+1364

а) сумуючи від меншого доданку до більшого;

б) сумуючи від більшого доданку до меншого.

Розв’язання.

а) Маємо S2=0,2764+0,3944=0,6708, S3=S2+1,475. Вирівнюючи порядки у цих двох доданків будемо мати S3=1,475+0,671=2,146. Аналогічно далі

S4=S3+26,46=2,15+226,46=28,61,

S=S5=S4+1364=29+1393.

б) Маємо S2=1364+26,46=1364+26=1390,

S3=S2+1,475=1390+1=1391,

S4=S3+0,3944=1391,

S=S5=S4+0,2764=1391.

Враховуючи, що точне значення S=1392,6058, бачимо, що сумування потрібно проводити починаючи з менших доданків. В протилежному випадку може мати місце значна втрата значущих цифр.

Приклад 7. Нехай числа =1,417744688 та =1,414213562 задані з десятьма вірними значущими цифрами. Скільки вірних значущих цифр матиме число ?

Розв’язання. Віднімаючи, отримаємо x*=0,003531126. Позначимо =1,417744688, =1,414213562. Тоді абсолютні похибки . Абсолютна похибка різниці буде дорівнювати . Оскільки 10–9<0,5•10–8, то робимо висновок, що число x* має шість вірних значущих цифр 3,5,3,1,1,2.

Відзначимо, що те ж саме значення можна отримати, подавши x* у вигляді

причому для цього достатньо взяти величини достатньо взяти з сімома вірними значущими цифрами.

Приклад 8. Оцінити похибку обчислення функції

якщо x=0,150,005, y=2,130,01, z=1,140,007.

Розв’язання. Згідно з формулою (4), для абсолютної похибки результату отримаємо