Елементи теорії похибок

При практичних розрахунках окрім оцінки (3) використовують оцінку

яку називають лінійною оцінкою похибки.

Виходячи з оцінки (4), знайдемо відносну похибку:

Використовуючи формули (4), (5), визначимо похибки результатів математичних операцій.

1.Похибка суми.

Аналогічно знаходимо похибки для інших математичних операцій.

2.Похибка різниці.

3.Похибка множення.

4.Похибка ділення.Відзначимо, що для суми та різниці абсолютні похибки додаються, а для операцій множення та ділення складаються відносні похибки. З формули (9) видно, що якщо віднімаються два близьких числа, то відносна похибка результату може значно зрости. А при діленні на досить мале число може значно зрости абсолютна похибка.

Розглянемо деякі приклади.

Приклад 4. Заокруглюючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки отриманих наближених чисел:

1) 0,1545; 2) 1,343; 3) –372,75.

Розв’язання.

1) x=0,1545. Заокруглення до трьох значущих цифр дає x*=0,155, тоді Δ(x*)=0,0005=5•10–4, а відносна похибка

δ(x*)=510–4/0,1550,3210–4.

2) x=1,343. Тоді x*=1,34, Δ(x*)=| x*– x|=0,003. Відповідно відносна похибка

δ(x*)=310–3/1,34=2,210–3.

3) x=–372,75. Тоді x*=–373, Δ(x*)=0,25, а

δ(x*)=0,25/373=6,710–4.

Приклад 5. Визначити кількість вірних цифр в числі x*, якщо відома його відносна похибка:

1) x*=22,351, δ(x*)=0,1;

2) x*=9,4698, δ(x*)=0,1•10–2;

3) x*=47361, δ(x*)=0,01;

Розв’язання.