Диференціальні рівняння. Задача Коші

При конкретному значенні y(0)=y0 отримуємо конкретну криву (функцію) вигляду. Цю функцію (логістичну функцію, рис. 8.1) було розглянуто в темі 4. Вона описує динаміку кількості y проданого товару залежно від часу t. Відщукання конкретних параметрів, та - завдання дисципліни “Економетрія”.

Попит при постійній еластичності.

Нехай Q - розмір попиту на деякий товар залежно від його ціни p. Нехай Q(p0)=Q0 . Нехай еластичність попиту за ціною EQp=E є сталою на деякому інтервалі. Для побудови функції попиту Q=Q(p) зі сталою еластичністю розв’язуємо задачу Коші (оскільки еластичність EQp обчислюються за допомогою похідної: EQp=Q(p/Q) ):

Q=CpE .

З урахуванням початкових умов отримуємо явний вигляд функції попиту

Зокрема, при еластичності E = -1 (збільшення ціни на 1% приводить до зменшення попиту на 1%) попит залежно від ціни описує функція

тобто обернена функція.

Корисність при постійній схильності до ризику.

Схильність особи до ризику (дисципліна “Економічний ризик”) r(x) залежно від кількості багатства x обчислюють за формулою, де U(x) - функція корисності цієї особи. Побудуємо функцію корисності для особи зі сталою (незалежною від x ) схильністю до ризику r(x)=r (як звичайно, r<0).

Потрібно розв’язати диференціальне рівняння r(x) за умов U(0)=0, U(0)=k.

Маємо задачу Коші

тобто лінійне однорідне рівняння другого порядку U-rU=0.

Будуємо характеристичне рівняння 2-r=0, коренями якого є числа 1 = 0 та 2 = r.

Отримуємо загальний розв’язок:

U(x)=C1e0x+C2erx =C1+C2 erx .

Враховуючи першу початкову умову U(0)=0, маємо C1= -C2, отже

U(x)=C-C erx .

Друга початкова умова U(0)=k дає

- Crer0 =k, звідки C=(-k)/r .

Отже, функція корисності клієнта має вигляд

Зокрема, при r = -0,2 та k=1

Отже, у разі сталої схильності до ризику r = -0,2 (незалежно від кількості багатства x) функція корисності клієнта має вигляд U(x)=5-5e-0,2x (рис. 8.2).