Диференціальні рівняння. Задача Коші

де p та q - сталі величини.

З метою розв’язування таких рівнянь будують характеристичне рівняння

2+p+q=0

Доведено, що у тому випадку, коли характеристичне рівняння має два різні дійсні корені 1 та 2 , загальний розв’язок диференціального рівняння такий:

де C1 та C2 - довільні сталі.

У випадку кратних дійсних коренів 1=2 характеристичного рівняння загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд

Приклад. Розв’язати рівняння y+2y-15y=0.

Будуємо характеристичне рівняння 2+2-15=0, звідки 1=3; 2=-5.

Отже, загальний розв’язок є такий:

Приклад. Розв’язати рівняння y+2y+y=0.

Будуємо характеристичне рівняння 2+2+1=0, звідки 1=2=-1.

Отже, загальний розв’язок.8.3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці

Задачею Коші називається задача знаходження часткового розв’язку диференціального рівняння. Для рівнянь першого порядку задача полягає у знаходженні такої функції, яка

-задовольняє рівнянню F(x,y,y)=0;

-проходить через точку (x0;y0).

Приклад. Розв’язати задачу Коші

Знаходимо загальний розв’язок диференціального рівняння з розділеними змінними:

arctgy=lnx+lnC ;

y=tg(ln(Cx)) .

На основі початкової умови y(1)=0 визначаємо конкретне значення константи C:

0=tg(ln(C1)) ;

C=1 .

Таким чином, розв’язком задачі Коші є функція y=tg(lnx).

Приклад. Розв’язати задачу Коші