Диференціальні рівняння. Задача Коші

Розглянемо деякі способи розв’язування таких рівнянь.

Означення. Диференціальне рівняння вигляду

f1(x)2(y)dx+f2(x)1(y)dy=0

називається рівнянням з розділеними змінними.

Приклади.

1. Розв’язати диференціальне рівняння.

Виконуємо ділення на вираз, розділивши тим самим змінні:

Почленно інтегруємо:

застосовуючи послідовно заміни 1-x2=t (звідки -2xdx=dt; xdx=(-dt)/2) та

1-y2=u (звідки –2ydy=du; ydy=(-du)/2):

Отримано загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння, який є неявною функцією.

2. Розв’язати диференціальне рівняння y=7x+y .

Розділяємо змінні:

Інтегруємо праву та ліву частини:

Позначивши сталу lnC (тобто, сталу, яка може набувати довільних значеннь) через C (ця нова константа також може приймати довільні значення), матимемо:

-7y=7x+C .

Отже, загальним розв’язком диференціального рівняння є неявна функція (що залажить від сталої C)

7y+7x=C .

3.Розв’язати диференціальне рівняння

arctgy=arctgx+C .

Отримано загальний розв’язок у неявому вигляді. Перейдемо до розв’язку у вигляді явної функції. Враховуючи той факт, що як стала C, так і стала arctgC , може набувати довільних значень, отримуємо:

arctgy=arctgx+arctgC.

Знайшовши тангенс від суми аргументів, одержуємо:

(загальний розв’язок, записаний у явному вигляді).