Диференціальні рівняння. Задача Коші

Знаходимо загальний розв’язок:

(заміна y2=t 2ydy=dt ydy=dt/2);

lnx=(-1/2)ln(1+y2) + lnC;

x2(1+y2)=C.

Визначаємо сталу C, виходячи з початкових умов:

12(1+22)=C, звідки C=5.

Розв’язок задачі Коші, отже, такий: x2(1+y2)=5.

Ріст при постійному темпі приросту.

Нехай в початковий момент часу t0=0 кількість населеня деякої країни становить P0. Нехай темп приросту кількості цього населення є сталим (зазначимо, що приріст може бути як додатнім, так і від’ємним) і дорівнює величині T.

Нагадавши, що темп приросту функції y=y(t) обчислюється за формулою, приходимо до такої задачі Коші:

Розділяємо змінні і знаходимо загальний розв’язок:

lny=Tt+lnC ;

y=CeTt .

Оскільки при t=0 величина y(0)=P0 , то P0=CeT0 =C і далі

y(t)=P0 eTt (розв’язок задачі Коші).

Знайдена функція y(t)=P0eTt дозволяє прогнозувати кількість населення в довільний момент часу. Наприклад, при річному темпі приросту T = -2% (темпі спаду в розмірі 2%) через t=25 (років) кількість населення становитиме P0 e-0,0225 = P0 e-0,5 0,607P0.

Зазначимо, що ця ж функція y(t)=P0eTt описує динаміку росту цін при постійному темпі інфляції.

Ріст при спадному темпі приросту.

Нехай деяка фірма починає випускати на продаж новий товар. Нехай на момент часу t0=0 на ринку вдалося продати y(t0)=y(0)=y0 одиниць товару. Позначимо через y(t) кількість проданого товару в довільний момент часу t і поставимо задачу визначення (прогнозування) цієї величини y(t).

В теорії маркетингу досліджено, що темп приросту Ty кількості проданого товару лінійно спадає в залежності від обсягу y продажу цього товару. Нехай темп приросту (спаду) Ty залежно від величини y є такою лінійною функцією: Ty = b-ay.

Отже, для для знаходження функції y=y(t) потрібно розв’язати задачу Коші:

Розв’язуємо дифренціальне рівняння

(отримано загальний розв’язок) .