Диференціальні рівняння. Задача Коші

8.2. Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

y=a(x)y=0

Таке рівняння розв’язують як рівняння із розділеними змінними:

загальний розв’язок.

Означення. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

y+a(x)y=b(x)

Одним із методів його розв’язування є шукання розв’язку у вигляді

Приклад. Розв’язати лінійне (неоднорідне) рівняння

Розв’язок однорідного рівняння y+2xy=0 має вигляд

Розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

де C(x) функція від x.

Знайдемо похідну від цього виразу:

і підставимо відшукані значення y та y в початкове рівняння:

С(x)=2x ;

dC(x)=2xdx ;

C(x)=x2+C .

Отримуємо загальний розв’язок

Приклад. Розв’язати лінійне рівняння першого порядку 2xy-y=3x2.

Загальним розв’язком однорідного рівняння є сім’я функцій (або, іншими словами, функція, яка залежить від сталої C)

Знаходимо загальний розв’язок початкового рівняння у вигляді.

Підставляючи y та y в рівняння, маємо

Отже, загальний розв’язок неоднорідного рівняння є таким: .

Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами – це рівняння вигляду

y + py + qy=0 ,