Мінімаксні оцінки в еліптичних рівняннях

Визначимо далі множники Лагранжа з умови

Виконавши необхідні обчислення, одержимо

де

тобто для одержимо два вирази, один з яких (від’ємний) відповідає максимальному значенню , а інший (додатний) – мінімальному значенню .

Отже,

де

Звідси

і

що і треба було довести.

Припустимо тепер, що мінімаксна апостеріорна оцінка функції знаходиться з умови

де функціонал , визначений на просторі , може бути зображений у вигляді

Тут - обмежена множина у просторі .

Покажем, що справедливе

Твердження 4. Має місце нерівність

Доведення. Покажемо спочатку, що має місце співвідношення

Це співвідношення випливає з нерівностей

Нарешті зауважимо, що

л

Наслідок 1. Нехай множина задається у вигляді (6). Тоді , де визначається з розв’язку системи рівнянь (17) і при цьому , де

Доведення. Нехай визначається із розв’язку системи рівнянь (17). Тоді

але

що і треба було довести. л

Наслідок 2. Порівнюючи систему рівнянь (17) з відповідною системою, неважко встановити, що при обмеженнях (6) апостеріорна мінімаксна оцінка співпадає з мінімаксною оцінкою при , і, отже, ми можемо записати, що

де

а функція визначається з розв’язку системи рівнянь (16), і оскільки - мінімаксна похибка, а з доведення теореми 3 випливає, що