Мінімаксні оцінки в еліптичних рівняннях

Твердження 3. Множина апостеріорних оцінок співпадає з відрізком і при цьому

і

Доведення. Зауважимо спочатку, що множина обмежена, замкнена і опукла. Замкненість випливає із замкненості множини і неперервної залежності розв’язку рівняння (1) від вектора . Покажемо, що опукла. Нехай . Тоді

при в силу опуклості . Далі, внаслідок властивостей множини , множина апостеріорних оцінок функціоналу співпадає з відрізком . З означення апостеріорної мінімаксної оцінки випливає, що центр цього відрізку співпадає з цією оцінкою, а відповідна половина довжини співпадає з похибкою.

Припустимо тепер, що множина має вигляд (6). Введемо вектори як розв’язки систем рівнянь

(16)

(17)

Покажемо, що має місце

Теорема 3. Мінімаксна апостеріорна оцінка функціоналу зображується у вигляді

і при цьому апостеріорна похибка оцінювання дорівнює

де визначаються з розв’язків систем рівнянь (16), (17) відповідно.

Доведення. З твердження 3 випливає, що для того, щоб знайти відповідну оцінку і похибку оцінювання, потрібно знайти і . Оскільки у даному випадку має вигляд

а екстремум функціоналу досягається на границі множини , то потрібно ввести функціонал Лагранжа

і знайти точку екстремума функціоналу , де - множник Лагранжа.

Зауважимо, що

де і визначаються з рівнянь

і

Введемо функцію , яка визначається зі системи рівнянь

де

Тоді

і

Зауважимо далі, що функції і можна зобразити у вигляді

де функції визначаються з розв’язку рівнянь (11), (12).