Мінімаксні оцінки в еліптичних рівняннях

Доведення. Оскільки множина симетрична відносно нуля, то . Крім того, у даному випадку

Цей вигляд функціоналу отримується, якщо застосувати нерівність (5) до виразу

Тут знак рівності досягається на векторах

Враховуючи ці нерівності, одержуємо, що

Порівнюючи ці вирази з відповідними виразом, отриманим у теоремі 1, одержимо, що при вони співпадають. Отже, співпадають і оцінки, що і потрібно було показати.

Припустимо тепер, що множина має вигляд

(8)

де - обмежена симетрична відносно нуля множина у просторі .

Покажемо тоді, що справедливе

Твердження 2. Існує єдина мінімаксна оцінка, яка може бути зображена у вигляді

де вектор знаходиться з нерівності

(9)

де визначається з розв’язку системи рівнянь (3), а . При цьому мінімаксна похибка оцінювання дорівнює

Доведення. Розглянемо множину всіх оцінок зі скінченною похибкою оцінювання. Зрозуміло, що

Оскільки в тому випадку, коли , то

Тому має сенс розглядати лише оцінки, для яких . В силу симетричності одержимо, що . Зауважимо далі, що множина опукла і замкнена. Опуклість цієї множини випливає з рівності

де а - розв’язок другого рівняння системи (6.3) при . Далі, оскільки неперервний оператор і , то

Звідси одержуємо замкненість цієї множини.

Зауважимо, що при з твердження 1 випливає, що

Приймаючи до уваги результати § 2 і вигляд функціоналу , одержимо, що існує єдиний вектор , який знаходиться з нерівності (9), і відповідна похибка дорівнює , що і потрібно було показати.

Припустимо тепер, що множина має вигляд

(10)

де L , і образ простору при відображенні співпадає з усім простором , де - розв’язок рівняння . Покажемо тоді, що якщо ввести вектори як розв’язки систем рівнянь