Мінімаксні оцінки в еліптичних рівняннях

(11)

(12)

то має місце наступна

Теорема 2. Мінімаксна оцінка функціоналу зображується у вигляді

і при цьому мінімаксна похибка оцінювання дорівнюєДоведення. Оскільки в даному випадку то Далі, беручи до уваги властивість оператора B0 , а також твердження 2 будемо мати, що де і Вектор може бути знайдений з умови

Враховуючи друге рівняння системи (6.11) одержимо, що

Звідки

Подальше доведення теореми проводиться аналогічно доведенню відповідних тверджень в теоремі 1.

Зауваження 1. Нехай простір Н0 скінченномірний, тобто і де Оскільки

де то

Покажемо, що для будь-якого вектора існує функція така, що тобто що оператор відображає простір на простір . Зауважимо, що де zi - розв’язок рівняння і припустимо, що Czi, i=1,n лінійно незалежні вектори. Тоді треба показати, що існує вектор такий, що (Czi,u)=ai, i=1,…,n де ai – довільні числа. Будемо шукати u в вигляді Тоді для визначення чисел xk одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

яка має єдиний розв’язок, в силу лінійної незалежності векторів

Зауваження 2. Системи рівнянь (7), (12) визначають мінімаксні оцінки функції , яка визначається з розв’язку задачі (6.1) при обмеженнях (2), (6) і (2), (10) відповідно.

Припустимо тепер, що - тотожній оператор, тобто спостерігається вектор y вигляду

(13)

де - узагальнений розв’язок третьої крайової задачі, тобто визначається з рівняння

(14)

Нехай вектор належить обмеженій замкненій опуклій множині F. Позначимо через Fy множину виду

(15)

тобто множина Fy - це множина тих розв’язків рівняння (1) при яких вектор належить множині F і при цьому виконується співвідношення (6.13).

Означення 2. Апостеріорною оцінкою функціоналу назвемо вираз

де , а величини , які визначаються зі співвідношення

назвемо апостеріорною оцінкою і апостеріорною похибкою оцінювання відповідно.