Мінімаксні оцінки в еліптичних рівняннях

(5)

причому знак рівності досягається лише при , де - довільне число.

Доведення. Оскільки оператор додатно визначений, то

Отже,

що можливо тоді і лише тоді, коли діскрімінант квадратного трьохчлена недодатний, тобто

і знак рівності досягається при .

Доведення твердження. Введемо функцію як розв'язок другого рівняння системи (3) при . Тоді при одержимо

Звідки

Значить,

Зауважимо далі, що оскільки множина симетрична відносно нуля, то

Звідки випливає, що .

Далі, з нерівності (5) випливає, що

і

причому знак рівності досягається у першому випадку при , а у другому випадку - при , де - некорельовані випадкові величини, . Звідки отримаєм, що

Оскільки функціонал опуклий напівнеперервний знизу як точна верхня межа таких функціоналів, то функціонал стого опуклий напівнеперервний знизу, і причому при . Із результатів §2 випливає, що існує єдиний вектор , на якому досягається мінімум функціоналу , який може бути знайдений із розв'язку варіаційної нерівності

де

Неважко показати, що .

Нехай множина має вигляд

(6)

де L L

Нехай також - канонічні ізоморфізми просторів і відповідно на спряжені. Покажемо тоді, що має місце

Теорема 1. Мінімаксна оцінка функціоналу зображується у вигляді

(7)

і при цьому мінімаксна похибка оцінювання , де , а і визначаються зі систем рівнянь (7), (8), якщо замінити оператор на , а на .