Мінімаксні оцінки в еліптичних рівняннях

Реферат на тему:

Мінімаксні оцінки в еліптичних рівняннях

Припустимо, що спостерігається вектор гільбертового простору вигляду

де L , функція є розв'язком рівняння

(1)

і - невідомі вектори з гільбертових просторів і відповідно, L , L - некорельовані випадкові величини зі значеннями у гільбертових просторах і відповідно, причому , а кореляційні оператори і невідомі, - білінійна форма, яка відповідає задачі (2).

Припустимо, що дані множини , яким належать вектори і випадкові величини відповідно.

Будемо шукати оцінки лінійних функціоналів

де , у вигляді

де - деяке число. При даній оцінці величина

являє собою максимальну середньоквадратичну похибку.

Нехай вектор та число знахотяться з умови

Означення 1. Величина називається мінімаксною оцінкою функціоналу , а вираз - мінімаксною похибкою оцінювання.

Нехай задається у вигляді

(2)

де L L . Тут через L позначено простір невід'ємних симетричних обмежених операторів, для яких існують обмежені обернені.

Припустимо далі, що множина обмежена у просторі і симетрична відносно нуля, тобто якщо , то . Покажемо тоді, що має місце

Твердження 1. Існує єдина мінімаксна оцінка, для якої , а може бути знайдене і умови

де , а функція знаходиться з розв'язку системи рівнянь

(3)

При цьому мінімаксна похибка оцінювання дорівнює

де

(4)

Покажемо спочатку, що має місце

Лема. Нехай - деякий гільбертів простір і L . Тоді має місце нерівність