Елементи теорії похибок

б) вважаємо всі похибки рівними, причому максимально можливими, тобто покладемо

,

де

.

Приклад 12. Сторона квадрату дорівнює 2м. З якою точністю її потрібно виміряти, щоб похибка знаходження площі не перевищувала 1см2?

Розв’язання. Позначимо сторону квадрату через x; S=x2, S'=2x. Тоді за формулою (14) отримаємо

см.

Приклад 13. З якою кількістю вірних значущих цифр потрібно взяти вільний член квадратного рішення

x2–2x+lg2=0,

щоб отримати корені рівняння з чотирма вірними значущими цифрами?

Розв’язання. Для коренів рівняння (17) маємо , . Оскільки , тоді . Отже за змістом задачі потрібно визначити так, щоб , а для , щоб . Позначимо z=ln2 і розглянемо функцію . З’ясуємо, з якою точністю потрібно обчислити z* в околі точки 0,3, щоб , то використовуючи формулу (14), будемо мати

.

Звідси робимо висновок, що для знаходження кореня x1 потрібно обчислити lg2 з трьома вірними значущими цифрами після коми, тобто lg2=0,301.

Аналогічно, розглядаючи функцію отримаємо, що для знаходження кореня x2 з точністю 0,5·10–4 потрібно обчислити lg2 з чотирма вірними значущими цифрами після коми, тобто lg2=0,3010.

Приклад 14. В п’ятизначних логарифмічних таблицях дано значення десяткових логарифмів з точністю до e=0,5×10–6. Оцінити величину можливої похибки при знаходженні числа за його логарифмом, якщо саме число знаходиться між 300 та400.

Розв’язання. Позначимо . За умовою задачі і потрібно знайти . Маємо . Тоді за формулою (14) будемо мати

.

отже x можна знайти принаймні з трьома вірними значущими цифрами після коми.

Задачі

Задача 1. Заокруглюючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки наближених чисел:

3,2523

0,17153

0,02103