Елементи теорії похибок

Знайдемо .

Тоді .

Приклад 9. Висота h та радіус основи циліндра виміряні з точністю до 0,5%. Яка відносна похибка при обчисленні об’єму циліндра, якщо p* 3,14?

Розв’язання. . Більш точне значення p=3,14159265, отже D(p*)=0,16×10–2, а d(p*)=0,16×10–2/3,14=0,0005=0,05%. Тоді, згідно до формули про відносну похибку добутку будемо мати

.

Приклад 10. Ребро куба виміряне з точністю до 0,02 см. дорівнює 8 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчисленні об’єму куба.

Розв’язання. позначимо сторону куба через a. Тоді , см. Застосовуючи формулу (4), будемо мати =(3×82×0,02)см3=3,84см3, а .

Приклад 11. Визначити відносну похибку числа, що записане в ЕОМ з счислення b та довжиною мантиси t.

Розв’язання. Число x* можна записати в ЕОМ у вигляді

,

де ℓ визначає порядок числа, di – цілі, причому , . Нехай точне значення числа дорівнює

.

Тоді

.

Отже .

Якщо ж числа вводяться за правилами заокруглення, то і тоді будемо мати, що

.

3. Обернена задача теорії похибок

Обернена задача теорії похибок полягає в наступному: з якою точністю потрібно задати значення аргументів функція , щоб похибка значення функції не перевищувала заданої величини ε.Для функції однієї змінної y=f(x) абсолютну похибку можна наближено обчислити за формулою

. (14)

Для функції декількох змінних задача розв’язується за допомогою наступних рекомендацій:

а) принцип рівних впливів, тобто вважаємо, що всі доданки рівні між собою. Тоді абсолютні похибки всіх аргументів визначаються формулою

; (15)