Інтерполяція функції

,

(4)

Припустимо, що . Вкладаючи співвідношення (4) одне в друге, отримуємо, що

,

так як . Оскільки , та при всіх s=1,2,…,k , то маємо

, ,

отже .

Розглянемо випадок, коли . Тоді, користуючись формулою попереднього випадку, з (4) маємо:

отже . Тепер можемо об’єднати ці два випадки в одній формулі:

.

Ми довели твердження для степенів відносно х. Для степенів відносно у твердження доводиться повністю аналогічно.

Визначимо коефіцієнти дробу (3) виходячи з умови інтерполяційності двовимірного ланцюгового дробу, тобто

Для цього розглянемо квадратні матриці

де

та

де

Визначимо частинну обернену поділену різницю k-го порядку для функції двох змінних формулою

де

Твердження 3. Коефіцієнти двовимірного інтерполяційного ланцюгового дробу (3) задовольняють співвідношення

(5)

Доведення. Легко бачити, що формула (5) має місце для коефіцієнтів конструкції при довільному значенні і . Але коли один з індексів або рівен нулю (тобто розбиття по відповідній змінній має лише одну точку) а інший має довільне значення (назвемо такі розбиття лінійними), то і формула (5) має місце для всіх коефіцієнтів двовимірного інтерполяційного ланцюгового дробу. За допомогою методу математичної індукції доведемо, що формула (5) має місце для довільного розбиття, а не тільки для лінійного. Для цього спочатку покажемо, що навіть коли , ми маємо право на кожному кроці методу математичної індукції одночасно збільшувати розбиття по обох змінних на 1. Це так, оскільки довільне розбиття прямокутника, яке містить точок, може бути отримано з деякого лінійного розбиття додаванням однакової кількості точок n до розбиття по кожній координаті. А оскільки у випадку лінійного розбиття справедливість формули доведено, то ми маємо можливість одночасно збільшувати розбиття по обох змінних на кожному кроці на 1.

Зробимо припущення, що (5) виконується і для інших значень , при і покажемо, що тоді (5) має місце і при . Для цього розглянемо інтерполяційний дріб виду: