Інтерполяція функції

Зміст

Вступ3

§ 1. Постановка задачі4

§ 2. Подвійні різниці для функції двох змінних7

§ 3. Інтерполяційний многочлен у формі Ньютона для

функції двох змінних9

§ 4. Інтерполяційний многочлен Лагранжа у випадку

функції двох змінних11

§ 5. Двовимірні інтерполяційні ланцюгові дроби12

§ 6. Результати і висновки19

Література26

Додаток. Інструкція користувача та тексти програм27

Вступ.

Однією із задач, які розвязує сучасна обчислювальна математика, є проблема наближення функції однієї змінної та багатьох дійсних змінних іншими функціями більш простої, взагалі кажучи, будови, які легко обчислюються на електронно-обчислювальних машинах. Інша назва цієї задачі – апроксимування функції. Ця задача може постати, наприклад, у випадку, коли або функція задана своїми значеннями у вигляді таблиці результатів експерименту, або коли функція має складну аналітичну будову і знаходження її значення у деяких точках викликає обчислювальні труднощі. Так, зокрема, всі широко вживані на практиці функції sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), ch(x), sh(x) та багато інших визначаються при обчисленнях на ЕОМ за допомогою функціональних рядів або ланцюгових дробів.

В останні роки різко зріс інтерес до класичних методів апроксимації функцій. Це пов’язано з тим, що ці апроксимації знайшли різноманітне застосування в обчислювальних задачах теоретичної фізики та механіки. Взагалі потрібно відмітити, що останнім часом ми стаємо свідками позитивної тенденції, згідно якої сучасні математичні дослідження все більше і більше ініціюються найбільш передовими фізичними теоріями та прикладними обчислювальними задачами, серед яких і спроби обєднати слабкі, електромагнітні, сильні та гравітаційні взаємодії у фізиці і проблеми ефективної компресії аудіовізуальної інформації на підставі аналізу спектра сигналу в обчислювальній математиці та ще багато інших не менш цікавих задач.

В даній кваліфікаційній роботі розглядаються два найбільш часто вживані підходи до інтерполяції функції двох змінних – двовимірні інтерполяційні многочлени і двовимірні інтерполяційні ланцюгові дроби, доводяться деякі корисні для практичного використання твердження. Також зроблено спробу дати деяку загальну оцінку ефективності використання вищезгаданих методів на підставі результатів обчислювальних експериментів.

§1. Постановка задачі.

Поставимо у відповідність двом дійсним змінним x і y прямокутну декартову систему координат X0Y. Розглянемо в площині цієї системи прямокутну область . І нехай у цій області визначена деяка функція двох змінних . Розіб’ємо область на прямокутники за допомогою сукупності прямих, паралельних 0X та 0Y .