Інтерполяція функції

де знаходиться між найбільшим та найменшим з чисел і

де знаходиться між найбільшим та найменшим з чисел . Символами та позначені частинні похідні.

Тепер звернемо увагу ще на таке співвідношення:

,

де і знаходяться відповідно в тих самих межах, що згадані вище. Відмітимо, що невідомі числові значення і , які входять в дві перші формули, не рівні значенням і останньої формули. З цих формул отримуємо наступну формулу для оцінки похибки інтерполяції:

§4. Інтерполяційний многочлен

Лагранжа у випадку функції двох змінних.

Розглянемо ще одну формулу інтерполювання без різниць – формулу Лагранжа. Вона пов’язана із значеннями функції в дискретних точках області D і часто є більш вигідною ніж попередньо розглянуті формули.Для отримання потрібної нам формули досить побудувати многочлен степеня (степеня відносно x та степеня відносно y), що приймає в точках ті самі значення що і задана функція . Якщо цей многочлен ми приймемо в якості інтерполяційного, то залишковий член відповідної інтерполяційної формули не буде нічим відрізнятися від залишкового члена попередньо виведеної формули Ньютона.

Розглянемо многочлен степеня :

де

, .

Так як

то многочлен приймає значення у вузлах інтерполяції.

Тому має місце формула

Це і є інтерполяційна формула Лагранжа для функцій двох змінних. Вона є точною для многочленів, степінь яких по не перевищує , а по y - не перевищує .

§5. Двовимірні інтерполяційні

ланцюгові дроби.

Розглянемо ще один спосіб двовимірного інтерполювання функцій – двовимірні інтерполяційні ланцюгові дроби. Нехай маємо дві послідовності дійсних чисел і . Ланцюговим дробом називається вираз вигляду

,

а n-м підхідним дробом ланцюгового дробу називається вираз вигляду

Нехай маємо функцію задану своїми значеннями у вузлах сітки (див. § 1). Позначимо

значення функції в інтерполяційних вузлах. За цими значеннями побудуємо двовимірний ланцюговий дріб такого вигляду: