Інтерполяція функції

Для цього виберемо на проміжку множину точок

,

та на проміжку множину точок

.

Декартів добуток цих множин

буде утворювати множину інтерполяційних вузлів. Відповідні прямі та розбивають область D на прямокутники.

Нехай у вузлах задані значення функції . В цій же області D виберемо довільну точку . Процес обчислення в точках М, які не збігаються з вузловими, називається інтерполюванням. Обчислення значень в точках М, які лежать зовні області D, називають екстраполюванням.

Перейдемо до обчислення невідомого значення . Проведемо через точку М дві прямі AB i PQ, паралельні координатним осям. Розглянемо точки перетину їх з прямими та , які проходять через інтерполяційні вузли. Для визначеності зупинимося на прямій AB, паралельній осі 0Х. Вона перетинається з прямими в точках , де у – ордината точок перетину. Тепер, зафіксувавши значення і, та використовуючи значення функції для , ми зможемо звичайними методами інтерполяції, розробленими для функції однієї змінної, обчислити значення . Проробивши це на всіх прямих , ми отримаємо значення функції в точках перетину AB та сукупності прямих. Інтерполюючи по цих точках, ми знайдемо і - значення функції у точці перетину пунктирних ліній.

Аналогічно можна інтерполювати по значеннях функції на горизонтальних прямих і в такий спосіб знайти значення в точках перетину цих прямих з прямою PQ. Інтерполюючи по них, ми знову прийдемо до . Кінцевий результат не залежить від порядку, в якому виконується інтерполювання – чи спочатку горизонтальне, а потім вертикальне, чи навпаки – в обох випадках ми прийдемо приблизно до одного і того ж значення , оперуючи інтерполяційними формулами Ньютона, Стірлінга, Бесселя і їм подібними, обірваними на різницях одного порядку.До тепер задачу двовимірної інтерполяції ми розв’язували у вузькому смислі, інтерполюючи спочатку відносно однієї змінної, а потім відносно іншої для відшукання значення в точках, не співпадаючих з вузловими. В загальному випадку задача інтерполювання функції від двох змінних може бути сформульована так: в точках (що є перетинами сукупності паралелей координатним осям) замкненої області D задані значення неперервної функції і потрібно наблизити її за допомогою неперервної функції , яка у всіх даних точках приймає відповідно задані значення і зображує в інших точках D функцію точно або наближено.

Співставимо поверхню з прямокутною системою координат. Щоб уявити собі геометричний зміст інтерполювання, достатньо побудувати поверхню , яка проходить через точки . Оскільки значення апроксимуючої функції в точках співпадають із значеннями , а в інших, взагалі кажучи, відмінні, точки ми і назвали вузловими точками. Геометричний зміст інтерполювання виражається в тому очевидному факті, що поверхня замінюється апроксимуючою поверхнею . Щоб оцінити точність інтерполяції, необхідно оцінити різницю аплікат цих поверхонь в точках , не співпадаючих з вузловими.

Далі розглянемо інтерполяційні агрегати у вигляді многочленів (які будемо називати інтерполяційними многочленами для функції двох змінних) і двовимірних інтерполяційних ланцюгових дробів, оскільки такі представлення є найчастіше вживаними і краще вивченими. Але перед тим як приступити до побудови двовимірної інтерполяційної формули Ньютона, розглянемо спочатку подвійні різниці для функції двох змінних, які нам для цього знадобляться.

§2. Подвійні різниці для функції двох змінних.

Нехай задана функція і, крім того, задані такі значення аргументів і :

і .

Введемо поняття подвійних поділених різниць цієї функції. Поділені різниці функції ми можемо обчислити або по якій-небудь одній змінній, наприклад , або по обох змінних і .