Похідна

в точці з абсцисою х0=3.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції, значення функції та її похідної в точці х0:

скориставшись рівнянням дотичної

,

матимемо

Звідси .

Відповідь: .

Приклад 2. Який кут з віссю абсцис утворює дотична до параболи y=x2-4x+8 в точці (3;5)?

Розв’язання. Безпосередньо підстановкою координат заданої точки в рівняння параболи переконуємося, що вона їй належить.

Знайдемо похідну y’=2x-4.

Тоді . Звідси

Відповідь:

Приклад 3. Дотична до графіка функції

нахилена до осі абсцис під кутом . Знайти координати точки дотику.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції :

.

За умовою y’(x0)=tg =1 маємо

отже, дотична до параболи проходить через точку А(2;2).

Відповідь: А(2;2).

Розділ 2

Застосування похідної

2.1. Правила диференціювання

Теорема: Якщо функції u(x) і (x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то

(u(x)(x))’ = u’(x)’(x)

для любого х є (a; b). Коротше,