Похідна

Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про похідну де а – число, отримаємо

Приклади.

а)

б)

Похідна частки двох функцій .

Теорема. Якщо функції мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), причому для любого х є (a; b), то

для любого х є (a; b).

Доведення. Позначимо тимчасово через знайдемо використовуючи визначення похідної.

Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).

Тоді,

Навіть, так як

то

і послідовно

Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то в останній формулі х0 можна замінити на х. Теорема доведена.

Приклади.

а)

б)

2.2. Дослідження функції та побудова графіка

Загально відомою є схема дослідження функції для побудови графіка:

1)знайти область визначення функції та множину її значень;

2)дослідити функцію на парність та непарність, періодичність;

3)знайти точки перетину графіка функції з осями системи координат, точки розриву, проміжки знакосталості функції;

4)дослідити поводження функції біля точок розриву та на нескінченності, знайти якщо вони є, асимптоти графіка;

5)знайти нулі та точки розриву похідної, інтервали монотонності функції, точки екстремуму та екстремальні значення функції;