Похідна
1.знаходять критичні точки в інтервалі (a;b) (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує), обчислюють значення функції в цих точках;
2.знаходять значення функції на кінцях відрізка, тобто ;
3.серед усіх значень вибирають найбільше і найменше значення.
У випадку, коли функція монотонна на відрізку [a;b], то найбільшого і найменшого значення вона досягає на кінцях відрізка. У цьому випадку обмежуємось обчисленням значень .
По-іншому складається ситуація, якщо необхідно знайти найбільше та найменше значення функції, неперервної в інтервалі (a;b).
Зрозуміло, що функція у цьому випадку не може досягати найбільшого і найменшого значення на кінцях інтервалу. Наприклад, функція в інтервалі (3;6) не має ні найбільшого, ні найменшого значення у внутрішніх точках інтервалу. У цьому випадку чинять так:
1. знаходять критичні точки, що належать цьому інтервалу, і обчислюють значення функції в цих точках;
2. знаходять ліву та праву границі відповідно в точках а і б , тобто . Якщо ці границі існують, то їх порівнюють із значеннями функції в критичних точках. Якщо виявиться, що значення в критичних точках більші(менші) за знайдені границі, то це і буде найбільшим(найменшим) значенням функції на інтервалі.
Приклади.
Приклад 1. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b]
Розв’язання. На даному відрізку функція визначена і неперервна, диференційована в інтервалі(-2;2). Знайдемо похідну, критичні точки:
х=0
знайдемо значення функції в критичній точці і на кінцях відрізка:
Отже,
.
Приклад 2. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b]
Розв’язання. Функція визначена і неперервна на відрізку , диференційна в інтервалі (-1;1). Тому вона набуває на даному відрізку найбільшого і найменшого значення. Знайдемо критичні точки даної функції. Для цього знайдемо похідну
і прирівняємо її до нуля:
х4+8х=0; х=0; х=-2.
Отже, на інтервалі (-1;1)функція має лише одну критичну точку х=0. знайдемо значення функції в цій точці .
Обчислимо значення функції на кінцях відрізка
, .
Отже,