Похідна

.

Приклад 2.Дослідити на екстремум функцію

Розв’язання. Функція визначена. Знайдемо її похідну:

.

Критична точка х=9. при переході через цю точку похідна змінює знак з мінуса на плюс. Отже, в цій точці функція f має локальний мінімум:

.

Крім того, похідна дорівнює нулю в точці х=0. оскільки справа від цієї точки(до х<6) функція не визначена, то в точці х=0 функція набуває найменшого значення .

Приклад 3.Дослідити на екстремум функцію

.

Розв’язання. Функція визначена і диференційована на R. Її похідна

дорівнює нулю при .

Ця критична точка розбиває числову пряму на два інтервали знакосталості похідної :

.

Оскільки на інтервалі , то функція f в точці має локальний максимум.

Його значення

1.3. Зростання та спадання функції

Дослідження функції на зростання та спадання ґрунтується на теоремі математичного аналізу.

Теорема. Нехай функція неперервна на проміжку і диференційована в інтервалі (а,б).для того, щоб функція f була зростаючою(спадною) на проміжку , необхідно і достатньо виконання двох умов:

1.

2.рівність не повинна виконуватися ні в жодному інтервалі, що міститься в .

Як наслідок цієї теореми можна використовувати таку теорему (достатня ознака строгої монотонності):

Теорема. Нехай функція f неперервна на проміжку і диференційована в інтервалі (а,б). Якщо , то f зростає(спадає) на .

Тому для знаходження проміжків зростання та спадання диференційованої функції діють у такий спосіб:

1.Знаходять: