Похідна

Проте не в кожній критичній точці функція має екстремум. Тому потрібні достатні ознаки існування екстремуму для функції f. Їх дають такі теореми:

Теорема 2.Нехай функція неперервна в деякому інтервалі, який містить критичну точку х0, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки х0).

Якщо для х<х0 , а для х0
Якщо для х<х0 , а для х0
Теорема 3.Нехай функція два рази диференційована в околі точки х0 і . Тоді в точці х=х0 функція має локальний максимум, якщо , і локальний мінімум, якщо .

Якщо ж , то точка х=х0 може й не бути точкою екстремуму.

Звідси випливає такий план знаходження екстремальних точок:

1.знаходять критичні точки функції , тобто точки , в яких , або не існує;

2.знаходять другу похідну і обчислюють значення другої похідної в цих точках.

Якщо значення другої похідної в критичній точці від’ємне, то така точка є точкою максимуму, а якщо значення другої похідної додатне, то точка є точкою мінімуму.

Якщо в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може бути екстремум, а може й не бути.

Розглянемо тепер дослідження функції на екстремум на конкретних прикладах.

Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію

Розв’язання. Функція визначена і диференційована на R. Знайдемо її похідну:

.

Знайдемо нулі похідної:

х2+х-2=0, х1=-2 х2=1.

Отже, функція f має дві критичні точки х1=-2,х2=1.

Оскільки похідна є квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х2, то на інтервалах , а на інтервалі (-2;1) .

Похідна неперервна на R і при переході через критичну точку змінює знак на протилежний.

Оскільки при переході через критичну точку х=-2 похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій точці функція має локальний максимум.

.

При переході через точку х=1 похідна змінює знак з мінуса на плюс. Тому в цій точці функція f має локальний мінімум.