Суперпозиція ЛКАО і псевдопотенціалу для розрахунку структури монокристалів CoW2

q, s

Зауважимо, що тут інтегрування по r здійснюється в основній сфері кристала.

Розглянемо локальну частину псевдопотенціала. Форм-фактор потенціалу іона (4) дорівнює:

Vq = V-1. ò Vîńň(r).exp(-iqr).d3r.

Для обчислення цього виразу використаємо загальну процедуру. Запишемо розклад плоских хвиль за Релеєм:

exp(iqr) = (2l+1).il.jl(|q.r|.Pl(cosQq^r), (9)

де jl(x) - сферичні функції Бесселя, Pl(cosq^r) - поліноми Лежандра l-го порядку і q^r - кут між q і r. Через сферичну симетрію s-орбіталі основний вклад в інтеграл у рівнянні (8) надає лише член ряду з l = 0. Враховуючи, що P0(cosq^r) = 1, одержимо:

¥ 2

V(q) = 4p/V ò r2.{-Zve2/r) å Ci.erf[ai1/2.r]+(Ali+r2.Ali+3).exp(-gli.r2)j0(qr)}d3r. (10)

0 i=1

Форм-фактор нелокальної частини псевдопотенціалу (перші два доданки 4) може бути визначений із:

< k + Gi|Vqíë (r, r')| k + Gj > = V-1 ò d3r.d3r'.exp[-i(k + Gi).r].{(Ail + r2.Ail+3).

exp(-gil.r2) - (A(0)l + r2.A(0)l+3).exp(-g(0)l r2).Pl}.exp[-i(k + Gj).r]. (11)

Проекційний оператор l-ої компоненти моменту має вигляд:

Pl = Ylm(Qi,j).Y*lm(Q'i,j'), (12)

де Ylm(Qi,j) - сферичні гармонічні. За визначенням, дія проекційного оператора на довільну функцію виражається так:

Pl exp(ikr) = Ylm(Qi,j).{ò dQ'.sinQ'.dj'.Y*lm(Q',j').exp(ikr)}, (13)

де Q, Q', j, j' - полярний і азимутальний кути векторів k i r. Використовуючи (13), рівняння (11) можна записати:

l ¥ 2p p

< k + Gi|Vqíë (r, r')| k + Gj > = V-1 å ò r2dr ò dj ò sinQ dQ´

m=-l 0 0 0

3

exp[-i(k + Gi).r].Ylm(Q,j){å (Ail + r2.Ail+3).exp(-gil.r2) - (A(0)l + r2.A(0)l+3).

l=1

2p p