Теорія металів Друде
Найбільш важлива область застосування знайденого результату - дослідження розповсюдження електро – магнітного випромінювання в металі.
Якщо електричне поле не змінюється істотним чином на відстанях, які порівняно з довжиною вільного пробігу електрона великі, ми маємо право при обчисленні густини струму j(r,t) в точці r вважати, що поле у всьому просторі має таку ж величину E(r,t), як і в точці r . звідси і отримаємо результат
j(r,ω) =σ(ω) E(r,ω) (30)
він правильний, якщо довжина хвилі λ поля велика порівняно з довжиною вільного пробігу електрона l . В металах ця умова зазвичай виконується для видимого світла (довжина хвилі 103-104 А ). Коли вона порушується , то застосовуються інші складніші теорії.
Вважаючи, що довжина хвилі велика порівняно з довжиною вільного пробігу, можна поступити наступним чином. Якщо ми маємо густину струму j , то рівняння Максвела можна записати у вигляді :
▼·E=0; ▼·H=0; ▼x E=(-1/c)(∂H/∂t); ▼x H=4πj/c+(1/c)(∂E/∂t) (31)
Будемо шукати розв’язок , який залежить від часу як e-iωt . зауважимо, що в металі можна виразити j через Е з допомогою формули (1.28), знаходимо:
▼x(▼x E)=- ▼ 2E=(iω/c) ▼ x H==(iω/c)(4πσE/c- iωE/c) (32)
або інакше :
- ▼2E=(ω2/c2)(1+4πiσ/ ω) E (33)
Рівняння (1.33) має вигляд звичайного хвильового рівняння
- ▼2E=(ω2/c2)ε(ω)E (34)
з комплексною діелектричною проникністю
ε(ω)=1+4πiσ/ ω (35)
Якщо частота достатньо велика, так що виконується умова:
ωτ≥1 (36)
то в першому наближенні , виходячи із (35) і (29), отримаємо
ε(ω)=1- ω2p / ω2 (37)
де величина ωp, називається плазмовою частотою, і обчислюється :
ω2p =4πne2/m (38)
Якщо ε - дійсна від’ємна величина ( ω>ωp) , то рівняння (34) має лише такі розв’язки , що в цьому випадку випромінювання не може поширюватись. Якщо ε - додатна величина (ω<ωp) , то розв’язок рівняння (34) означає, що випромінювання може поширюватись і метал повинен бути прозорим. Цей висновок справедливий , якщо поблизу частоти ω=ωp виконується зроблене нами припущення (1.36). Виражаючи τ через питомий опір з допомогою формули: