Теорія металів Друде

Для того, щоб отримати на основі цієї картини кількісну оцінку теплопровідності, спочатку розглянемо спрощену одновимірну модель, в якій електрони здатні рухатись лише вздовж осі х , так , що в точку х половина електронів приходить з тої сторони , де температура вища, а половина - де температура нижча. Якщо ε(T) - теплова енергія , що припадає на один електрон в металі , який знаходиться в рівновазі при температурі Т , то електрон останнє зіткнення якого відбулось в точці x', в середньому має теплову енергію ε(T[x']). Електрони, що приходять в точку х з тої сторони, де температура вища, відчули останнє зіткнення в середньому в точці x+vτ і тому несуть в розрахунку на один електрон теплову енергію ε(T[x-vτ]). Тому їх внесок в густину теплового потоку рівний добутку числа таких електронів в одиниці об’єму π/2 на їх швидкість v і на їх енергію , тобто (π/2)v ε(T[x-vτ]).. Електрони, що прибувають в точку х з тої сторони, де температура нижча дають внесок (π/2)(-v)ε(T[x-vτ])., оскільки рухаються від великих значень х в напрямку менших. Складання двох цих членів дає вираз:

Jq=½nv[ε(T[x-vτ])]-ε(T[x-vτ]) (42)

якщо зміна температури на відстані довжини вільного пробігу l=vτ дуже мала, то можна розкласти отриманий вираз в ряд поблизу точки х, тоді в лінійному наближенні отримаємо:

j4=nv2τ(dε/dt)(-dT/dx) (43)

Щоб перейти в цій формулі до трьохвимірного випадку, необхідно тільки замінити v на vx - проекцією швидкості електрона в напрямку х - і привести усереднення по всіх можливим напрямкам швидкості. Оскільки

‹v2x›=‹v2y›=‹v2z›=v2/3

і

ndε/dT=(N/V)( dε/dT )= ( dE/dT )/V=Cv

де Cv - електронна питома теплоємність, тоді маємо:

j4=(1/3) v2τ Cv(-▼T) (44)

або

χ=(1/3) v2τ Cv =(1/3) lv Cv (45)

де v2 - середній квадрат швидкості електрона.

Виходячи із формули (1.51) і поділивши коефіцієнт електропровідності σ=ne2τ/m можна отримати ще один вираз:

χ/σ=(1/3)Cv mv2 /ne2 (46)

Відповідно, що при розрахунках електронної питомої теплоємності і середньоквадратичної швидкості Друде скористався законами класичного ідеального газу. Тому він фактично сказав, що теплоємність

Cv=(3/2)nkB , a (1/2)mv2 =(3/2)kBT

де kB - стала Больцмана. kB=1,38•10-16ерг/К.

В результаті отримаємо:

χ/σ=(3/2)(kB/l)2 T (47)