Теорія металів Друде
У довільній точці металу електрони завжди рухаються у найрізноманітніших напрямках і володіють різними тепловими швидкостями. Сумарна густина струму, що виражається формулою (4), де Vc –середня швидкість електронів. За відсутності електричного поля всі напрямки руху електронів рівноймовірні і середнє значення Vc перетворюється в 0, а відповідно сумарна густина струму теж дорівнює 0.За присутності поля Е середня швидкість електронів відмінна від 0 і напрямлена протилежно до поля( так як заряд е- від’ємний)Цю швидкість можна знайти таким чином:
Розглянемо довільний електрон в нульовий момент часу.
Нехай t- це час, що пройшов після його останнього зіткнення. Швидкість даного електрона в нульовий момент часу буде дорівнювати його швидкості V0 безпосередньо після зіткнення плюс додаткова швидкість -еЕt/m, яку електрон набув після зіткнення. Так як ми припускаємо,що після зіткнення швидкість електрона може мати довільний напрямок,внесок від V0 в середню швидкість електрона дорівнює середньому значенню величини –еЕt/m. Однак, середнє значення t дорівнює часу релаксації τ.Тому маємо:
V=-eEτ/m ; J=(ne²τ/m)E (5)
Цей результат зазвичай формулюють, використовуючи характеристику, обернену питомому опору, - провідність
σ=1/g
J=σE; σ=ne2τ/m (6)
Таким чином, ми отримали лінійну залежність J від Е і найшли для провідності σ вираз,в який входять лише відомі величини і час релаксації τ. Як наслідок, використовуючи (6 ) і дослідні значення питомого опору можна визначити, скажімо величину часу релаксації:
τ=m/nge²
Питомий опір дуже залежить від температури. При кімнатній температурі питомий опір залежить від температури приблизно лінійно, але при досягненні низьких Т він різко зменшується. Таким чином, при кімнатній температурі питомі опори зазвичай мають порядок одного мікроом-сантиметра. Якщо gμ-питомий опір, виражений в мкОм/см, співвідношення (7) для часу релаксації зручно записати у вигляді:
τ=(0.22/gμ)(rs/a0)3•10-14c. (8)
Отже, при кімнатній температурі τ виявляється порядку
10-14-10-15 с. Щоб зрозуміти, чи є це розумним значенням , корисно розглянути середню довжину вільного пробігу l=V0*t, де V0 –середня швидкість електрона. Довжина l характеризує середню відстань, що проходить е- між зіткненнями. У часи Друде було очевидно оцінювати V0 виходячи із класичного закону рівномірного розподілу енергії за степенями вільності:
½ mV0 ²=3/2kвTПідставляючи сюди відому масу електрона знаходимо, що V0 має порядок 107 см/с при кімнатній температурі і, як наслідок, довжина вільного пробігу становить від 1 до 10Ǻ. Так як ця відстань порівняно з міжатомною, результат повністю узгоджується з припущеннями Друде про те, що зіткнення пояснюється співударом електронів з великими важкими іонами. Однак, в подальшому ми побачимо, що класична оцінка при кімнатній температурі дає значення V0 на порядок величини меньше дійсного( реального). Крім того ,при найбільш низьких температурах τ на порядок величини більший,ніж при кімнатній температурі. Оскільки V0 в дійсності не залежить від температури (це показано далі), то виявляється, що при низьких температурах довжина вільного пробігу може зрости до 103 і більше Ǻ, тобто, в 1000раз перевищувати міжіонною відстань. Зараз, працюючи при достатньо низьких Т із ретельно приготованими зразками, можна досягнути середніх довжин вільного пробігу порядку 1 см (тобто, біля 108 міжіонних відстаней). Це явно вказує на те, що електрони не просто співударяються з іонами, як припускав Друде.Однак, ми можемо далі використовувати для розрахунків модель Друде, хоча і не до кінця розуміємо природу зіткнення. Не маючи теорії часу вільного пробігу, важливо знайти такі припущення моделі Друде, які не залежать від величини часу релаксації τ. Виявляється, існує декілька подібних не залежних від τ величин, які і досі цікавлять, оскільки у багатьох відношеннях точний кількісний розгляд часу релаксації залишається найслабшою ланкою у сучасній теорії провідності металів. В результаті незалежні від τ величини є наібільш цінними, тому що часто вони дають найнадійнішу інформацію. Особливо важливі два випадки: