Аристотель – представник філософської думки Античності

2.2. Система філософії математики

До часів Аристотеля теоретична математика пройшла значний шлях і досягла високого рівня розвитку. Продовжуючи традицію філософського аналізу математичного пізнання, Аристотель порушив питання в необхідності впорядкування самого знання в способах засвоєння науки, у цілеспрямованій розробці мистецтва ведення пізнавальної діяльності, що включає два основних розділи: "освіченість" і "наукове знання справи". Серед відомих творів Аристотеля немає спеціально присвячених викладів методологічних проблем математики. Але по окремих висловленнях, по використанню математичного матеріалу як ілюстрації загальних методологічних положень можна скласти уявлення про це, що був його ідеал побудови системи математичних знань.

Вихідним етапом пізнавальної діяльності, відповідно Аристотелю, є навчання, що "засновано на якомусь уже раніш наявному знанні... Як математичні науки, так і кожне з інших мистецтв здобувається саме таким способом". Для відділення знання від незнання Аристотель пропонує проаналізувати "усі ті думки, що по-своєму висловлювали в цій області деякі мислителі" і обміркувати виниклі при цьому утруднення. Аналіз варто проводити з метою з'ясування чотирьох питань: "що річ є, чому вона є, чи є вона і що вона є".

Основним принципом, що визначає всю структуру "наукового знання справи", є принцип зведення усього до початків і відтворення усього з початків. Універсальним процесом виробництва знань з початків, відповідно Аристотелю, виступає доказ. "Доказом же я називаю силогізм, - пише він, - який дає знання". Викладу теорії доказового знання цілком присвячений "Органон" Аристотеля. Основні положення цієї теорії можна згрупувати в розділи, кожний з яких розкриває одну з трьох основних сторін математики як науки, що доводить: "те, щодо чого доводиться, те, що доводиться і те, на підставі чого доводиться". Таким чином, Аристотель диференційовано підходив до об'єкту, предмету і засобів доказу.

Існування математичних об'єктів визнавалося задовго до Аристотеля, однак піфагорійці, наприклад, припускали, що вони знаходяться в почуттєвих речах, платоністи ж, навпаки, вважали їх існуючими окремо. Відповідно до Аристотеля:

1. У почуттєвих речах математичні об'єкти не існують, тому що "знаходиться в тім же самім місці два тіла не в змозі";

2. "Неможливо і те, щоб такі реальності існували відокремлено".Аристотель вважав предметом математики "кількісну визначеність і безперервність". У його трактуванні "кількістю називається те, що може бути розділене на складові частини, кожна з яких є чимось одним, даним у наявності. Це чи інша кількість є безліч, якщо його можна рахувати, це величина, якщо його можна виміряти". Безліччю при цьому називається те, "що в можливості потенційно поділяється на частини не безконечні, величиною - це, що поділяється на частини безконечні". Перш, ніж дати визначення безперервності, Аристотель розглядає поняття нескінченного, тому що "воно належить до категорії кількості" і виявляється перш за все в безперервному. "Що нескінченне існує, впевненість у цьому виникає в дослідників з п'яти причин: з часу (тому що воно нескінченно); з поділу величин; далі, тільки в такий спосіб не вичерпаються виникнення і знищення, якщо буде нескінченне, відкіля береться виникаюче. Далі, з того, що кінцеве завжди межує з чим-небудь, тому що необхідний, щоб одне завжди граничило з іншим. Але більш за все – на тій підставі, що мислення не зупиняється: і число здається нескінченним, і математичні величини". Чи існує нескінченне як окрема чи сутність воно є акциденцією чи величиною безлічі? Аристотель приймає другий варіант, тому що "якщо нескінченне не є ні величина, ні безліч, а саме є сутністю, то воно буде неподільне, тому що ділене чи буде величиною, чи безліччю. Якщо ж воно не ділено, воно не нескінченно в розумінні не перехідного до кінця". Неможливість математичного нескінченного як неподільного випливає з того, що математичний об'єкт - відволікання від фізичного тіла, а "актуально неподільне нескінченне тіло не існує". Число "як щось окреме й у той же час нескінченне" не існує, адже "...якщо можливо перерахувати зчислене, то буде можливість пройти до кінця і нескінченне". Таким чином, нескінченність тут потенціально існує, актуально ж - немає.

Виходячи з викладеного вище розуміння нескінченного, Аристотель визначає безперервність і перервність. Так, "безперервне є саме по собі щось суміжне. Суміжне є те, що, випливаючи за другим, стосується його". Число як типово перерване (дискретне) утворення формується з'єднанням дискретних, далі неподільних елементів - одиниць. Геометричним аналогом одиниці є крапка; при цьому з'єднання крапок не може утворити лінію, тому що "крапкам, з яких було б складене безконечне, необхідно чи бути безперервними, чи стосуватися один одного". Але безперервними вони не будуть: "адже краї крапок не утворять чого-небудь єдиного, тому що в неподільного немає ні краю, ні іншої частини". Крапки не можуть і стосуватися один одного, оскільки стосуються "усі предмети або як ціле цілого, або своїми частинами, або як ціле частини. Але оскільки неподільне не має частин, їм необхідно стосуватися цілком, але те, що стосується цілком не утворить безперервного".