Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної

Перший розв'язок - офівфісобливий, другий - частинний.

Приклад 5.4.

Це рівняння Клеро. Його загальний розв'язок -

Запишемо дискримінантну криву

Звідки - особливий розв'язок, так як через цей розв'язок проходить ще розв'язок, який міститься в загальному при .

4. Неповні рівняння.

а). Д.Р. які містять тільки похідну.

Це рівняння вигляду

(5.45)

Рівняння (5.45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв'язків.

(5.46)

де - деякі числа, задовільняючі функцію .

Інтегруємо (5.46)

(5.47)

Так як то

(5.48)

загальний інтеграл Д.Р. (5.45). Таким чином при таких припущеннях Д.Р. (5.45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (5.48). При цьому в (5.48) можуть входити комплексні розв'язки Д.Р.

Приклад 5.5.

Розв'язати .

Згідно (5.48) - загальний інтеграл. Однак у нього крім дійсного розв'язку , входять розв'язки комплексного Д.Р.

б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд

(5.49)

Якщо (5.49) можна розв'язати відносно похідної

(5.50)

то