Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами, ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші

Теорема. Нехай члени ряду (13.11) додатні і не спадають, тобто

(13.12)

і нехай така неперервна неспадна функція, що

(13.13)

Тоді :

1) якщо невласний інтеграл збігається, то збігається і ряд (13.11);

2) якщо невласний інтеграл розбігається, то розбігається і ряд (13.11).

Д о в е д е н н я. Зобразимо члени ряду геометрично, відкладаючи на осі абсцис номера членів ряду, а на осі ординат - відповідні значення членів ряду . Побудуємо на цьому ж рисунку графік неперервної функції , що задовольняє умові (13.13). Ясно, що ця функція буде проходити через точки (рис. 13.1).

Рис.13.1 Рис.13.2

Зауважимо, що площа го прямокутника дорівнює , а сума площ побудованих прямокутників дорівнює частинній сумі ряду З іншого боку, ступенева фігура, утворена цими прямокутниками, містить область, що обмежена кривою і прямими ; площа цієї області дорівнює Отже,

(13.14)

На рис.13.2 перший (зліва) із побудованих прямокутників має висоту , а тому його площа буде Площа другого прямокутника і т.д. Площа останнього із побудованих прямокутників буде

Отже, сума площ всіх побудованих прямокутників дорівнює

З іншого боку, як легко помітити, ступенева фігура, утворена цими прямокутниками, міститься всередині криволінійної трапеції, обмеженої кривою і прямими

Площа цієї криволінійної трапеції дорівнює Тому

звідки

. (13.15)

Розглянемо тепер обидва випадки.

1). Нехай невласний інтеграл збігається. Оскільки

то в силу нерівності (1.15) будемо мати

тобто частинна сума ряду, яка є монотонно зростаючою (члени ряду додатні) , залишається обмеженою. Значить, при має скінчену границю , тобто ряд збігається.

2). Нехай невласний інтеграл розбігається, тобто Це значить, що необмежено зростає при зростанні Але, в силу нерівності (13.14), також необмежено зростає при зростанні , тобто ряд розбігається.