Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами, ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші

то:

1) при ряд (13.4) збігається;

2) при ряд (13.4) розбігається;

3) при теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.

Д о в е д е н н я. 1) Нехай Розглянемо число , що задовольняє умові Починаючи з , будемо мати

звідки випливає, що

або

Розглянемо тепер два ряди:

,

.

Другий ряд збігається, оскільки його члени утворюють геометричну прогресію. Члени першого ряду, починаючи з , менші за члени другого ряду, а тому він за ознакою порівняння збігається.

2) Нехай Тоді, починаючи з деякого номера , будемо мати

або

Але, якщо всі члени даного ряду, починаючи з деякого , більші за одиницю, то ряд розбігається, оскільки його загальний член не прямує до нуля.

Зауваження. Як і в ознаці Даламбера, випадок вимагає додаткового дослідження. Серед таких рядів можуть зустрітися як збіжні, так і розбіжні.

Приклад. Дослідити збіжність ряду

.

Р о з в ' я з о к. Використаємо радикальну ознаку Коші:

>1 - ряд розбігається.

13.6. Інтегральна ознака Коші

Розглянемо ще одну ознаку, яка відрізняється по формі від всіх попередніх.

Нехай ряд має форму

, (13.11)

і є значення при деякої функції , визначеної для . Припустимо, що ця функція неперервна, додатна і монотонно спадна.