Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами, ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші

Відкинувши перших членів у рядах (13.4) і (13.5), які не вплинуть на збіжність чи розбіжність даних рядів, одержимо умови даної теореми.

Теорема 2. Якщо існує границя

(13.6)

то із збіжності ряду (13.5), при випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) - розбіжність ряду (13.5) при

Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.5) збігається і Взявши довільне як завгодно мале число за визначенням границі, для

достатньо великих будемо мати

, звідки

Одночасно з рядом (13.5) буде збігатися і ряд одержаний множенням його членів на постійний множник Звідси, за попередньою теоремою, випливає збіжність ряду (13.4).

Якщо ряд (13.5) розбігається і то в цьому випадку обернене відношення має скінченну границю і тоді ряд (13.4) повинен бути розбіжним, інакше, якщо б він збігався, то по доведеному, збігався би і ряд (13.4), що протирічить припущенню.

Приклад 2. Дослідити збіжнісь ряду

Р о з в ' я з о к. Нехай а Ряд збігається.Оскільки

то із збіжності ряду випливає збіжність і ряду

13.4. Ознака Даламбера

Теорема. Якщо для ряду (13.4) з додатними членами відношення го члена до го при має (скінчену) границю тобто

(13.7)

то:

1) при ряд (13.4) збігається;

2) при ряд (13.4) розбігається;

3) при теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.

Д о в е д е н н я. 1) Нехай Розглянемо деяке число що задовольняє умові Із означення границі та співвідношення (13.7) випливає, що для всіх буде виконуватися нерівність

(13.8)

Дійсно, оскільки величина прямує до границі то , починаючи з деякого номера різниця між величиною і числом може бути зроблена за абсолютною величиною менше за довільне як завгодно мале додатне число, в тому числі, менше за тобто

Звідси і випливає нерівність (13.8).