Інтегровані типи д-р 1-го порядку, розвязаних відносно похідної

,

,

,

,

,

,

(2.52), де .

При діленні ми могли загубити розвязок , де - корені рівняння (2.53).

Отже півпрямі примикають до початку координат. Ці розвязки можуть міститися в формулі загального розвязку, але можуть бути і особливими. Особливими можуть бути також півосі осі . Других особливих розвязків ДР (2.5) не має.

Рівняння вигляду(2.54) зводиться до однорідного. Якщо , то це однорідне рівняння.

Припустимо, що хоч одне з чисел не дорівнюють 0. Можливі два випадки:

Перший) Проводимо заміну (2.55), де - нові змінні, - параметри. Тоді (2.56).

Параметри вибираємо згідно системи (2.57). Так як то система (2.57) має єдиний розвязок. Таким чином, ми прийшли до однорідного ДР (2.58).

Другий) . В цьому випадку , тобто . Тому (2.59)

Заміною ДР (2.59) приводимо до рівняння з відокремленими змінними (2.60).

Пр 2.7 Знайти загальний розвязок ДР

Це однорідне рівняння, . Зробимо заміну ,, .

Отже - загальний розвзок нашого рівняння.

ДР (2.5) називається узагальнено-однорідним, якщо існує таке число , при якому ліва частина цього ДР (2.5) стає однорідною функцією від велечин в припущенні, що __ мають віжповідно виміри: перший, -ий, нульвий , -ий. При має просто однорідне рівняння.

В цьому випадку ДР (2.5) заміною (2.61) зводитьчя до р-ня з відоктремлюванними змінними. При р-ня (2.5) являється р-ням з розділеними зміними. Особліви розвязки досліджуються аналогічно.

Пр 2.8 Розвязати ДР:

Знайдемо чило для данного випадку . Отже , ,формула

Звідки загальний розвязок.

г) Лінійні р-ня порядку.