Основні правила диференціювання. Таблиця похідних

2. Знайти похідну від функції .

Р о з в ' я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію , .

Тому

Похідна від степенево-показникової функції.

Означення. Функція , де і - функції , називається степенево-показниковою функцією.

Степенево-показникову функцію не можна диференціювати ні за формулою похідної степеневої функції, ні за формулою показникової функції, оскільки вона не є ні тою ні другою. Одержимо окрему формулу.

Нехай дана функція , де . Прологарифмувавши обидві частини рівності, маємо

Диференціюємо обидві частини цієї рівності по як складні функції:

Звідси

або

(6.44)

Правило диференціювання степенево-показникової функції: щоб продиференціювати степенево-показникову функцію, достатньо знайти від неї похідну як від показникової функції (тимчасово вважаємо основу сталою), похідну як від степеневої функції (вважаємо показник сталим) та результати додати.

Приклади.

1. Знайти похідну від функції .

Р о з в ' я з о к.

2. Знайти похідну від функції .

Р о з в ' я з о к.

Зауваження. Застосований в цьому параграфі прийом для знаходження похідних, коли спочатку знаходять похідну логарифму даної функції, широко використовується при диференціюванні функцій. Цей прийом часто спрощує обчислення.

Приклад.

Знайти похідну від функції

Р о з в ' я з о к. Логарифмуючи, знаходимо

Диференціюємо обидві частини цієї рівності:

Звідси