Основні правила диференціювання. Таблиця похідних

Отже,

(6.37)

4.. Аналогічно можна довести, що

(6.38)

5. Похідні обернених тригонометричних функцій

1., де , .

Тоді згідно з означенням функції маємо таку рівність:

причому похідна при не дорівнює нулю. Тому для знаходження похідної від можна скористатися формулою (6.24):

Оскільки , то набуває тільки додатних значень. Тоді можна записати:

Отже, остаточно

(6.39)

2. Аналогічно можна вивести формули похідних

(6.40)

(6.41) (6.42)

6. Похідна від складної функції

Функція однієї змінної.

Теорема. Нехай маємо складну функцію і нехай: 1) зовнішня функція в точці має похідну (по ) ; 2) внутрішня функція в точці має похідну (по ) . Тоді складна функція в точці також має похідну (по ), яка дорівнює добутку похідних від зовнішньої і внутрішньої функції, тобто

або

(6.43)

Правило знаходження похідної від складної функції: щоб знайти похідну від складної функції, треба знайти похідну від зовнішньої функції за зовнішнім аргументом і результат помножити на похідну від внутрішньої функції за внутрішнім аргументом.

Зауваження. Ця теорема може бути узагальнена і на той випадок, коли аргумент внутрішньої функції є, в свою чергу, функцією від іншого аргументу. Так, якщо маємо функції і кожна з них у відповідних точках має похідні, то функція має похідну по , яка дорівнює

Приклади.

1. Знайти похідну від функції .

Р о з в ' я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію і задовольняють умовам теореми для . Отже,