Основні правила диференціювання. Таблиця похідних

Основні правила диференціювання. Таблиця похідних

План

Основні правила диференціювання.

Похідні від елементарних функцій.

Похідна від степеневої функції.

Похідна від степеневої та логарифмічної функції.

Похідні від тригонометричних функцій.

Похідні від обернених тригонометричних функцій.

Похідна від складної функції.

1. Правила диференціювання

Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження похідних від функцій.

10. Похідна від аргументу . Покладемо , тоді . Тому .

Отже, якщо , то

. (6.14)

1. Похідна від сталої функції .

Значення цієї функції у точках і рівні між собою при будь-якому . Тому приріст , а отже й .

Перейшовши до границі, в останній рівності при маємо

.

Границя відношення при існує і дорівнює нулю. Тому існує й похідна від цієї функції в довільній точці , яка теж дорівнює нулю, тобто

. (6.15) 3. Похідна від суми.

Теорема. Якщо функції в точці мають похідні, то функція також в цій точці має похідну і ця похідна дорівнює

. (6.16)

Д о в е д е н н я. Надамо деякого . Тоді функції матимуть прирости , функція - приріст . Знайдемо відношення

.

Перейдемо в цій рівності до границі при . Внаслідок того, що в точці згідно з умовою теореми мають похідну, то