Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями. Пряма на площині. Площина. Пряма в просторі. Пряма і площина

Р о з в ‘ я з о к. Рівняння площини шукаємо у вигляді Оскільки площина проходить через вісь то точки , лежать в даній площині; значить, і рівняння шуканої площини має такий вигляд (після ділення на )

3.5. Пряма в просторі

3.5.1. Рівняння прямої в просторі

Пряма в просторі задана, якщо відома деяка точка що лежить на цій прямій, і вектор , який паралельний цій прямій. Такий вектор називається направляючим вектором прямої. Тоді довільна точка буде лежати на цій прямій тоді і тільки тоді, коли вектори і будуть колінеарні, тобто Оскільки координати цих векторів то останню рівність в координатній формі можна записати так:

Рівняння називаються параметричними рівняннями прямої в просторі ( параметр).

Виключаючи із рівнянь параметр одержимо канонічне рівняння прямої в просторі

Нехай дві точки і лежать на прямій. Тоді за направляючий вектор можна взяти вектор Підставляючи в рівняння

замість і відповідні координати вектора, одержимо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

Оскільки довільна точка що лежить на прямій, буде лежати і в цих площинах, то її координати будуть задовольняти обидва рівняння цих площин, тобто систему рівнянь. Отже рівняння такої прямої можна записати у вигляді системи рівнянь

Рівняння називається загальним рівнянням прямої в просторі. Очевидно, що рівняння задають рівняння прямої, коли площини і непаралельні. Координати нормальних векторів площин і такі: Тоді , оскільки , то пряма буде перпендикулярна обом нормальним векторам і Тоді в якості направляючого вектора можна взяти вектор

3.5.2. Кут між двома прямими в просторі.

Умови паралельності та перпендикулярності

Кут між двома прямими і , заданих рівняннями

визначається як кут між їх направляючими векторами та Тому

Якщо прямі і паралельні, то їх направляючі вектори і будуть колінеарні. Тоді одержимо умову паралельності двох прямих

Якщо прямі і перпендикулярні, то , і ми маємо умову перпендикулярності двох прямих

3.5.3. Кут між прямою і площиною.

Умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини

Кут між прямою та площиною визначається кутом між цією прямою та її

проекцією на площину . Нехай пряма задана канонічним рівнянням

а площина - загальним рівнянням

Направляючий вектор прямої має координати , а нормальний вектор площини Очевидно, що кут між прямою і площиною дорівнює де це кут між