Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями. Пряма на площині. Площина. Пряма в просторі. Пряма і площина

Нехай це точка (рис.3.). Точка точка перетину діагоналей (середина діагоналі ). Тоді і Очевидно також, що рівняння

сторони а рівняння сторони Оскільки паралельна то рівняння сторони шукаємо у вигляді

знаходимо із умови, що точка

і рівняння сторони

Аналогічно знайдемо рівняння сторони і

рівняння сторони Координати вершини шукаємо із системи рівнянь Аналогічно знаходимо координати вершини

Рівняння діагоналі

Рівняння діагоналі

Приклад 2. Написати рівняння прямої, що паралельна двом прямим і та проходить посередині між ними, якщо:

Р о з в ‘ я з о к. Оскільки то паралельні прямі і розташовані по одну сторону від початку координат, а тому і шукана пряма теж буде розташована по ту ж сторону від початку координат і

Рівняння прямої

Площина

3. Рівняння площини

Алгебраїчне рівняння першого степеня, що зв’язує координати точки в просторі має виглядВ декартовій системі координат в просторі кожна площина може бути задана лінійним рівнянням і, навпаки, кожне лінійне рівняння в декартовій системі координат в просторі задає площину . Отже, площина – це алгебраїчна поверхня першого порядку.

Рівняння називається загальним рівнянням площини.

Розглянемо точку, що лежить в площині

Вираховуючи із рівняння дану рівність, одержимо рівняння площини, що проходить через задану точку

Якщо довільна точка на площині, то вектор повністю лежить в площині а ліва частина рівності виражає скалярний добуток векторів і Оскільки скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, то вони є перпендикулярні , а це значить, що вектор перпендикулярний до площини. Вектор, який перпендикулярний до площини називається нормальним вектором площини.

Розглянемо три точки, що лежать в площині (і не лежать на одній прямій)

також будуть лежати в площині Тоді довільна точка буде належати цій площині, коли вектор буде лежати в площині Отже, вектори компланарні. Якщо три вектори компланарні, то їх змішаний добуток дорівнює нулю

Записавши змішаний добуток трьох векторів в координатній формі, одержимо

Рівняння називається рівнянням площини, що проходить через три заданих точки.