Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями. Пряма на площині. Площина. Пряма в просторі. Пряма і площина

Нехай задані точки перетину площини з осями координат Тоді одержимо із рівняння

Рівняння називається рівнянням площини у відрізках.

Зв’язкою площин називається сукупність площин, що проходять через фіксовану точку – центр зв’язки. Нехай площини з рівняннями перетинаються в єдиній точці Рівняння зв’язки площин

Пучком площин називається сукупність площин, що проходять через фіксовану пряму – вісь пучка. Рівняння пучка площин має вигляд

при умові де в дужках стоять ліві частини рівняння двох площин пучка.

Нехай ми маємо три площини, задані рівняннями

Щоб знайти їх спільні точки, треба розв’язати систему заданих трьох рівнянь, що описують ці площини. Якщо система має єдиний розв’язок, то площини мають спільну точку (перетинаються в одній точці).

Якщо розв’язки не існують, то спільних точок немає. У випадку безлічі спільних точок можливі два випадки: або всі три

площини перетинаються по спільній прямій (пучок трьох площин), або всі три площини співпадають. Другий випадок можливий лише тоді, коли всі три рівняння зводяться до одного (пропорційність всіх чотирьох коефіцієнтів).

Кут між двома площинами

Умови паралельності і перпендикулярності двох площин

Розглянемо дві площини (рис.3.13). Очевидно, що величина двогранного кута між двома

площинами дорівнюватиме відповідному куту між їх нормальними

векторами і .

Тому кут . Кут між двома векторами і

Очевидно, що коли площини паралельні, то || , а якщо перпендикулярні, то . Отже, умови паралельності двох площин визначаються так:

3.4.3. Віддаль від точки до площини

Якщо радіус-вектор точки площини, радіус-вектор точки а її нормальний вектор. то рівняння (3.18) можна записати у векторній формі

Якщо і направляючі вектори площини (вектори, які паралельні площині або лежать в площині), то вектор а тому може бути прийнятий за нормальний вектор площини

Тоді рівняння площини можна записати у вигляді

Нехай задана точка радіус-вектор якої позначимо через Віддаль від точки до площини краще всього визначити як висоту паралелепіпеда, побудованого на векторах , поділивши об’єм паралелепіпеда на площу основи (рис.3.14). Ми одержимо

Але для кожного нормального вектора площини можна вибрати направляючі вектори і такими, щоби Тому ми маємо

В силу того, що точка маємо