Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями. Пряма на площині. Площина. Пряма в просторі. Пряма і площина

Позначимо . Тоді одержимо рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку

Очевидно, що де кут, що утворює пряма (вектор ) з

додатнім напрямом осі Величину називають кутовим коефіцієнтом прямої

Позначивши через із рівняння одержимо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Нехай дві точки і лежать на прямій Тоді за напрямний вектор можна взяти вектор, що з’єднує ці дві точки Підставивши в рівняння

Замість і координати вектора одержимо рівняння прямої, що проходить через дві заданих точки

Нехай задані точки перетину прямої з осями координат і Використавши рівняння (3.10), одержимо

або

Рівняння називається рівнянням прямої у відрізках.

Пучком прямих на площині називається сукупність прямих, що проходять через фіксовану точку – пучка. Будемо вважати, що дві прямі і перетинаються

в точці Рівняння

де називається рівнянням пучка прямих на площині.

2. Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих

Нехай дві прямі і задані рівняннями

Якщо прямі і паралельні, то їх кутові коефіцієнти рівні

Якщо прямі перпендикулярні, то , а тому

Можна обчислювати кут між двома прямими як кут між їх нормальними векторами і

3. Віддаль від точки до прямої

Нехай пряма задана рівнянням і точка

радіус-вектор якої Точка радіус-вектор якої направляючий вектор прямої Тоді

віддаль від точки до прямої можна розглядати як висоту паралелограма, побудованого на векторах і

називається нормальним рівнянням прямої на площині.

Приклад 1. Дві сторони паралелограма задані рівняннями і Діагоналі його перетинаються в початку координат. Написати рівняння двох інших сторін паралелограма та його діагоналей.

Р о з в ‘ я з о к. Знайдемо координати точки перетину сторін паралелограма