Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера, методом Гаусса та за допомогою оберненої матриці. Теорема Кронекера-Капеллі, її застосування до дослідження і розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь

б) застосувати процедуру Жордана-Гаусса, не забуваючи на кожному етапі вибрати ведучий елемент  відповідно до п.1

в) після всіх перетворень виписати розв’язок так само, як і при знаходженні довільних розв’язків. Якщо все виконувалось правильно, то невід’ємний розв’язок, якщо він існує, знайти завжди можна.

Легко довести, що при виконанні умови 1) у правій частині системи рівнянь не може появитись від’ємний елемент. Щоб переконатись у цьому розглянемо рівність : . Нехай у ньому вибрано так, що відношення - найменше з усіх подібних відношень до конкретного .

Тоді . Щоб  було невід’ємним, повинно бути , про що йдеться в п.1).

Приклад 1. Знайти невід’ємний розв’язок системи рівнянь:

Р о з в ’ я з о к. Запишемо матрицю цієї системи і здійснимо ряд послідовних її перетворень:Від 1-го і 3-го рядка віднімемо 3, а від 4-го - 0,25.

(3-й рядок поділимо на 2)

(1-й рядок поділимо на 7)

(4-й рядок помножимо на 7)

    .

Відповідь: .

Базисними змінними тут є  а -небазисні змінні.

Приклад 2. Розставити числові коефіцієнти в реакції

  Р о з в ’ я з о к. Нехай - коефіцієнти в написаному рівнянні

Звідси  

Звичайно, і ця система може бути розв’язана методом Жордана-Гаусса. Але вона така проста, що її можна розв’язати досить легко. Справді, враховуючи, що , з четвертого рівняння знайдемо, що Враховуючи це, решта рівнянь буде такою: Звідси Тоді

Отже, розв’язок має вигляд :

 Щоб було цілим, повинно бути  Тоді

  Таким чином, рівняння буде таким:

.

                                                                                                    

4.2.5. Теорема Кронекера-Капеллі. Однорідні системи

             Розширеною матрицею  системи лінійних алгебраїчних рівнянь називається матриця (до матриці системи приєднується стовпець вільних членів)