Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера, методом Гаусса та за допомогою оберненої матриці. Теорема Кронекера-Капеллі, її застосування до дослідження і розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь

        У різноманітних галузях людських знань (наука, виробництво, економіка, теорія масового обслуговування, тощо) часто виникають задачі, розв’язування яких приводить до систем лінійних рівнянь, в яких кількість рівнянь не обов’язково дорівнює кількості невідомих. Невідомих може бути більше або менше від кількості рівнянь. Для розв’язування таких систем розроблено ряд методів, у тому числі й за допомогою визначників. Але найпоширеніший з них - метод Жордана-Гаусса, який не потребує попередніх досліджень на сумісність або несумісність. У процесі розв’язування завжди стає ясно, має система розв’язки чи не має, єдиний її розв’язок чи ні. Оскільки для розв’язування системи рівнянь методом Жордана-Гаусса потрібно на порядок менше математичних операцій, ніж при розв’язуванні за формулами Крамера, то метод Жордана-Гаусса став основним при побудові стандартних програм для сучасних комп’ютерів.

            Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими (4.1).

Метод Жордана-Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень:

1)      множення рівняння на деяке число ;

2)      заміна одного з рівнянь системи сумою з іншим рівнянням

тієї ж системи, помножимо на деяке число;

3)      видалення з системи рівнянь тотожностей .

З допомогою перетворення 2) можна виключити деяке невідоме із усіх рівнянь системи, крім одного.            Виберемо для цього рівняння з номером 1), що містить невідоме :

                                     

            Це рівняння будемо називати ведучим, а - ведучим невідомим. Для виключення ведучого невідомого   з рівняння з номером

                                  

додамо до нього ведуче рівняння, помножене на деяке число . Тоді одержимо

Щоб виключити невідоме , прирівняємо до нуля коефіцієнт при , тобто  

Тоді рівняння матиме вигляд

одержимо систему рівнянь, в якій невідоме міститиметься тільки в -му рівнянні, а в інших рівняннях невідомого не буде. Таким самим способом, приймаючи в ролі ведучого інше рівняння, можна з усієї решти рівнянь виключити ведуче вибране невідоме. Продовжуючи цей процес доти, поки кожне рівняння побуде ведучим тільки один раз, прийдемо до системи рівнянь вигляду

У ролі ведучого послідовно бралися рівняння 1-ше та -те, а в ролі ведучого невідомого бралися послідовно . Якщо при цьому жодне рівняння не перетворювалося в тотожність , то зрозуміло, вони далі в процесі перетворення не беруть участі і тому виключаються з системи.

У цьому випадку в системі кількість рівнянь буде меншою, ніж .

Якщо описаний процес проводився в іншому порядку, то після його закінчення члени в рівняннях завжди можна переставити так, щоб система набрала вигляду

У випадку, коли в процесі розв’язування системи рівнянь де-небудь ліва частина якогось рівняння перетворюється в нуль, а права-не дорівнює нулю, то це означає, що система несумісна і тому обчислення треба припинити.