Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера, методом Гаусса та за допомогою оберненої матриці. Теорема Кронекера-Капеллі, її застосування до дослідження і розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь

План

·Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).

·Правило Крамера.

·Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці.

·Метод Гауса.

·Знаходження невід’ємних розв’язків СЛАР.

·Теорема Кронекера Капеллі.

·Однорідні системи.

4.2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

            Загальний вигляд системи  лінійних алгебраїчних рівнянь СЛАР з невідомими запишемо так:

                          

Скорочено її можна записати

Коефіцієнти при невідомих запишемо у вигляді матриці , яку назвемо матрицею системи. Числа, що стоять в правих частинах рівнянь, утворюють стовпець , який називається стовпцем вільних членів. Якщо тепер через  позначити стовпець із невідомих, то систему можна записати в матричному вигляді

                                                                             

            Система називається однорідною, якщо в правій частині всі вільні члени дорівнюють нулю (нульова матриця).

            Система рівнянь називається неоднорідною, якщо в її правій частині є хоча б один відмінний від нуля елемент.

            Означення. Сукупність чисел називається розв’язком системи, якщо кожне рівняння системи перетворюється в числову рівність після підстановки чисел замість відповідних невідомих для всіх

            Система (4.1) може мати єдиний розв’язок, безліч розв’язок або взагалі не мати розв’язків.

            Системи, що не мають розв’язків, називаються несумісними, а які мають розв’язки – сумісними.

4.2.1. Правило Крамера

            Розглянемо систему  лінійних алгебраїчних рівнянь з  невідомими

В цьому випадку матриця системи квадратна.

            Позначимо через  визначник матриці (із коефіцієнтів при невідомих)