Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера, методом Гаусса та за допомогою оберненої матриці. Теорема Кронекера-Капеллі, її застосування до дослідження і розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь

У рівнянні невідомі  називаються базисними, а решта змінних - небазисними. Базисний розв’язок складається з базисних змінних і нулів, причому нулям відповідають небазисні змінні. Якщо в базисі є стільки змінних, скільки рівнянь, то такий базис називається невиродженим. Якщо базисних змінних менше, ніж , то такий базис називається виродженим.

            Приклад. Розв’язати методом Жордана-Гаусса систему рівнянь:

Р о з в ’ я з о к. Через те, що 1-, 4-, і 5-й стовпчики мають відповідно спільні множники 2, 3 і 5, то щоб мати справу з меншими коефіцієнтами, вигідно ввести нові змінні за формулами . І крім того, перейменувати невідомі  в  і , щоб уніфікувати найменування невідомих. Тоді одержимо

Щоб при дальших перетвореннях не переписувати на кожному кроці невідомі , запишемо систему у вигляді таблиці, цілком зрозумілої:

Приймемо в ролі ведучого перший рядок і в ньому ведучим-перший елемент; за допомогою його перетворимо в нулі в першому стовпчику всі елементи, крім першого.

Перший рядок помножимо по черзі на  і результати додамо відповідно до другого , третього, четвертого і п’ятого рядків. В результаті одержимо:

.

У другому рядку всі елементи від’ємні, тому можна весь рядок помножити на –1. Це не вплине на результат, бо така операція рівносильна множенню другого рівняння  на –1. Аналогічні дії виконані з третім рядком.

Остання таблиця одержана множенням другого рядка на (3), 5-го – на (–3), четвертого – на ( –1).

З останньої таблиці маємо  Врахувавши підстановки, знаходимо  Пояснення до останньої таблиці: в ній рівняння мають вигляд

З цих рівнянь знайдено 

Відповідь:

4.2.4. Знаходження невід’ємних розв’язків СЛАР

           При розв’язуванні ряду задач, зокрема економічних, доводиться мати справу з системами лінійних рівнянь, розв’язки яких за змістом задачі повинні бути невід’ємними.

           При розв’язуванні ряду задач, зокрема економічних, доводиться мати справу з системами лінійних рівнянь, розв’язки яких за змістом задачі повинні бути невід’ємними.

           Знаходження таких розв’язків здійснюється теж за методом Жордана-Гаусса з деякою його модифікацією. Суть модифікації полягає ось у чому.

            1. Якщо в системі (4.1) у правих частинах рівняння є  величини то множенням відповідних рівнянь на –1 їх можна зробити додатними.

2. У ролі ведучих елементів треба брати лише додатні.

3. На кожному етапі перетворень у правій частині таблиць цієї останньої умови, чинять так:

а) у ролі ведучого елемента вибирають додатній елемент для конкретноготак, щоб відношення вільного члена  до було найменшим